Первая и вторая теоремы Хелли
Между функциями распределения [math]\displaystyle{ \left\{F_{\xi}\left(x\right)\right\} }[/math] и множеством их характеристических функций [math]\displaystyle{ \left\{f_{\xi}\left(t\right)\right\} }[/math] существует взаимно однозначное соответствие.
В том числе теоремы Хелли показывают, что это соответствие не только взаимно однозначное, но и взаимно непрерывное.
Первая и вторая теоремы Хелли
Первая теорема Хелли
Из всякой последовательности функций распределения [math]\displaystyle{ \left\{F_x \right\} }[/math] можно выбрать слабо сходящуюся подпоследовательность.
Вторая теорема Хелли
Если [math]\displaystyle{ g\left(x\right) }[/math] — непрерывная ограниченная функция на прямой и [math]\displaystyle{ F_{n}\left(x\right)\Rightarrow F\left(x\right), F\left(\infty\right)-F\left(-\infty\right)=1, }[/math] то
- [math]\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow\infty}\int_{-\infty}^{\infty}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)=\int_{-\infty}^{\infty}g\left(x\right)dF\left(x\right) }[/math]
Доказательство первой теоремы Хелли
Пусть [math]\displaystyle{ D=\left\{x_k\right\} }[/math] — всюду плотное на прямой счетное множество.
Из ограниченной последовательности [math]\displaystyle{ 0\leq F_{n}\left(x_{1}\right)\leq 1 }[/math] выбираем сходящуюся подпоследовательность [math]\displaystyle{ F_{1n}\left(x_{1}\right) }[/math], предел которой обозначим [math]\displaystyle{ F\left(x_{1}\right). }[/math]
Из ограниченной последовательности [math]\displaystyle{ 0\leq F_{1n}\left(x_{2}\right)\leq 1 }[/math] выбираем сходящуюся подпоследовательность [math]\displaystyle{ F_{2n}\left(x_{2}\right)\rightarrow F\left(x_{2}\right) }[/math] и т. д.
Далее выбираем диагональную подпоследовательность [math]\displaystyle{ f_{nn}\left(x\right) }[/math], для которой [math]\displaystyle{ F_{nn}\left(x\right)\rightarrow F\left(x\right) }[/math] для любой точки [math]\displaystyle{ x_{k}\in D. }[/math]
По лемме отсюда вытекает [math]\displaystyle{ F_{nn}\left(x\right)\Rightarrow F\left(x\right). }[/math]
Лемма
Если [math]\displaystyle{ F_{n}\left(x\right)\rightarrow F\left(x\right) }[/math] на всюду плотном на прямой множестве [math]\displaystyle{ D }[/math], то [math]\displaystyle{ F_{n}\left(x\right)\Rightarrow F\left(x\right). }[/math]
Замечание
[math]\displaystyle{ F\left(x\right) }[/math] может не быть функцией распределения. Например, если [math]\displaystyle{ F_{n}\left(x\right)=0 }[/math] при [math]\displaystyle{ x\lt n }[/math] и [math]\displaystyle{ F_{n}\left(x\right)=1 }[/math] при [math]\displaystyle{ x\geq n, }[/math] то [math]\displaystyle{ F_{n}\left(x\right)\Rightarrow F\left(x\right)=0. }[/math]
Доказательство второй теоремы Хелли
Пусть [math]\displaystyle{ a\lt b }[/math] — точки непрерывности [math]\displaystyle{ F\left(x\right) }[/math].Докажем сначала, что
- [math]\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow\infty}\int_{a}^{b}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)=\int_{a}^{b}g\left(x\right)dF\left(x\right) }[/math].
Пусть [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math]. Разделим [math]\displaystyle{ \left[a,b\right] }[/math] точками непрерывности [math]\displaystyle{ a=x_{0},x_{1},...,x_{N-1},x_{N}=b }[/math] функции [math]\displaystyle{ F\left(x\right) }[/math] на такие отрезки [math]\displaystyle{ \left[x_{k-1},x_{k}\right] }[/math], что [math]\displaystyle{ \left|g\left(x\right)-g\left(x_{k}\right)\right|\lt \varepsilon }[/math] для точек [math]\displaystyle{ x\in\left[x_{k-1},x_{k}\right] }[/math].
Это сделать можно, так как [math]\displaystyle{ g\left(x\right) }[/math] равномерно непрерывна на [math]\displaystyle{ \left[a,b\right] }[/math], а точки непрерывности [math]\displaystyle{ F\left(x\right) }[/math] расположены всюду плотно.
Определим ступенчатую функцию.
- [math]\displaystyle{ g_{\varepsilon}\left(x\right)=g\left(x_{k}\right) }[/math] на [math]\displaystyle{ x\in\left(x_{k-1},x_{k}\right] }[/math].
Тогда
- [math]\displaystyle{ \left|\int_{a}^{b}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)-\int_{a}^{b}g\left(x\right)dF\left(x\right)\right|\leq\int_{a}^{b}\left|g\left(x \right )-g_{\varepsilon}\left(x \right )\right|dF_{n}\left(x \right )+\left|\int_{a}^{b}g_{\varepsilon}dF_{n}-\int_{a}^{b}g_{\varepsilon}dF\right|+\int_{a}^{b}\left| g\left(x\right) - g_{\varepsilon}\left(x \right ) \right|dF\left(x \right )\leq }[/math]
- [math]\displaystyle{ \leq2\varepsilon + \mathsf{M}\left[\sum_{k=1}^{N}\left[F_{n}\left(x_{k} \right )-F\left(x_{k} \right )-\left(F_{n}\left(x_{k-1}\right )-F\left(x_{k-1} \right )\right)\right]\right]. }[/math]
где [math]\displaystyle{ \mathsf{M}=sup_{x}\left|g\left(x\right)\right|. }[/math].
При [math]\displaystyle{ n\rightarrow\infty }[/math] последнее слагаемое может быть сделано как угодно малым, откуда и следует
- [math]\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow\infty}\int_{a}^{b}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)=\int_{a}^{b}g\left(x\right)dF\left(x\right). }[/math]
Для доказательства
- [math]\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow\infty}\int_{-\infty}^{\infty}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)=\int_{-\infty}^{\infty}g\left(x\right)dF\left(x\right) }[/math]
выберем [math]\displaystyle{ X\gt 0 }[/math] таким, чтобы [math]\displaystyle{ F\left(-X\right)\lt \frac{\varepsilon}{4} }[/math] и [math]\displaystyle{ 1-F\left(X\right)\lt \frac{\varepsilon}{4} }[/math] и чтобы точки [math]\displaystyle{ \pm X }[/math] были точками непрерывности [math]\displaystyle{ F\left(x\right). }[/math]
Тогда, так как [math]\displaystyle{ F_{n}\left(\pm X\right)\rightarrow F\left(\pm X\right) }[/math] можно выбрать [math]\displaystyle{ n_0 }[/math] таким, что при [math]\displaystyle{ n\geq n_0, F_{n}\left(-X\right)\lt \frac{\varepsilon}{2} }[/math] и [math]\displaystyle{ 1-F_{n}\left(X\right)\lt \frac{\varepsilon}{2}. }[/math]
Оценим разность
- [math]\displaystyle{ \left|\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{-\infty}^{\infty}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)-\int_{-\infty}^{\infty}g\left(x\right)dF\left(x\right)\right|\leq\left|\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{-X}^{X}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)-\int_{-X}^{X}g\left(x\right)dF\left(x\right)\right|+\left|\int_{\left|x\right|\gt X}^{}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)\right|+\left|\int_{\left|x\right|\gt X}^{}g\left(x\right)dF\left(x\right)\right|\leq }[/math]
- [math]\displaystyle{ \leq\left|\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{-X}^{X}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)-\int_{-X}^{X}g\left(x\right)dF\left(x\right)\right|+\mathsf{M}\varepsilon+\frac{\mathsf{M}\varepsilon}{2}. }[/math]
На основании [math]\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow\infty}\int_{a}^{b}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)=\int_{a}^{b}g\left(x\right)dF\left(x\right) }[/math] заключаем, что правая часть
- [math]\displaystyle{ \left|\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{-\infty}^{\infty}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)-\int_{-\infty}^{\infty}g\left(x\right)dF\left(x\right)\right|\leq\left|\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{-X}^{X}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)-\int_{-X}^{X}g\left(x\right)dF\left(x\right)\right|+\left|\int_{\left|x\right|\gt X}^{}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)\right|+\left|\int_{\left|x\right|\gt X}^{}g\left(x\right)dF\left(x\right)\right|\leq }[/math]
- [math]\displaystyle{ \leq\left|\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{-X}^{X}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)-\int_{-X}^{X}g\left(x\right)dF\left(x\right)\right|+\mathsf{M}\varepsilon+\frac{\mathsf{M}\varepsilon}{2}. }[/math]
может быть сделана сколь угодно малой, что и доказывает теорему.
См. также
Литература
- Севастьянов В.А. Курс теории вероятностей и математической статистики. — 1982. — 254 с.