Основная теорема аффинной геометрии

Основна́я теоре́ма а́ффинной геоме́трии — обобщение теоремы евклидовой геометрии о том, что любое биективное преобразование евклидова пространства размерности не менее 2 является аффинным, на случай произвольных аффинных пространств и произвольных полуаффиных отображений между ними. Теорема имеет довольно простую формулировку, однако её доказательство длинно и неочевидно.

Формулировка

Пусть [math]\displaystyle{ V }[/math] — векторное пространство над телом [math]\displaystyle{ K }[/math], [math]\displaystyle{ V' }[/math] — векторное пространство над телом [math]\displaystyle{ K' }[/math]. Определим полулинейное отображение как отображение [math]\displaystyle{ f: V \rightarrow V' }[/math], удовлетворяющее свойству [math]\displaystyle{ f(\lambda x + \mu y) = \phi(\lambda)f(x)+\phi(\mu)f(y) \ \forall x, y \in V \ \forall \lambda, \mu \in K }[/math], где [math]\displaystyle{ \phi }[/math] — изоморфизм тел [math]\displaystyle{ K }[/math] и [math]\displaystyle{ K' }[/math]. Пусть [math]\displaystyle{ S }[/math] и [math]\displaystyle{ S' }[/math] — аффинные пространства, ассоциированные с [math]\displaystyle{ V }[/math] и [math]\displaystyle{ V' }[/math] соответственно. Определим полуаффинное отображение как отображение [math]\displaystyle{ F: S \rightarrow S' }[/math], удовлетворяющее свойству [math]\displaystyle{ F(A)-F(B)=f(A-B) \ \forall A, B \in S }[/math], где [math]\displaystyle{ f: V \rightarrow V' }[/math] — полулинейное отображение.

Основная теорема аффинной геометрии: пусть некоторое отображение [math]\displaystyle{ F: S \rightarrow S' }[/math] удовлетворяет следующим условиям:

• [math]\displaystyle{ \operatorname{dim}{\texttt\lt F(S) \texttt\gt } \geq 2 }[/math]
• Если [math]\displaystyle{ K, K' \neq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} }[/math], то образ любой прямой прямая или точка
• Если [math]\displaystyle{ K = K' = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} }[/math], то образ любой плоскости плоскость, прямая или точка

Тогда [math]\displaystyle{ F }[/math] — полуаффинное отображение.

Доказательство

Лемма 1. Пусть [math]\displaystyle{ S }[/math] и [math]\displaystyle{ S' }[/math] аффинные пространства ассоциированные с [math]\displaystyle{ V }[/math] и [math]\displaystyle{ V' }[/math] над телами [math]\displaystyle{ K }[/math] и [math]\displaystyle{ K' }[/math] соответственно, [math]\displaystyle{ \operatorname{dim}{S} \geq 2 }[/math], [math]\displaystyle{ F: S \rightarrow S' }[/math] — инъективное отображение, переводящее прямые в прямые и сохраняющее параллельность. Тогда [math]\displaystyle{ F }[/math] — полуаффинное отображение.

Доказательство.

1). Корректность определения [math]\displaystyle{ f }[/math]

Чтобы [math]\displaystyle{ F }[/math] было полуаффинным, нужно, чтобы отображение [math]\displaystyle{ f: V \rightarrow V' }[/math], определённое как [math]\displaystyle{ f(\overrightarrow{AB}) = F(B) - F(A) \ \forall A, B \in S }[/math], было полулинейным. Для начала необходимо доказать корректность этого определения. Для этого нужно доказать, что равные закреплённые векторы переходят в равные закреплённые векторы.
Отметим, что вследствие инъективности, разные прямые переходят в разные прямые.
Пусть [math]\displaystyle{ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} \neq \overrightarrow{0} }[/math]. Тогда [math]\displaystyle{ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AC} \Rightarrow \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AC} }[/math]
Пусть [math]\displaystyle{ F(A) = A', ..., F(D) = D' }[/math]. Если [math]\displaystyle{ A, B, C, D }[/math] не лежат на одной прямой, то [math]\displaystyle{ AB }[/math] и [math]\displaystyle{ CD }[/math] переходят в различные параллельные прямые, [math]\displaystyle{ BD }[/math] и [math]\displaystyle{ AC }[/math] переходят в различные параллельные прямые. Пусть [math]\displaystyle{ \overrightarrow{C'D'} = \lambda \overrightarrow{A'B'} }[/math], [math]\displaystyle{ \overrightarrow{B'D'} = \mu \overrightarrow{A'C'} }[/math]. Тогда [math]\displaystyle{ \overrightarrow{0} = \overrightarrow{A'B'} + \overrightarrow{B'D'} + \overrightarrow{D'C'} + \overrightarrow{C'A'} = \overrightarrow{A'B'} + \mu \overrightarrow{A'C'} - \lambda \overrightarrow{A'B'} - \overrightarrow{A'C'} = (1 - \lambda) \overrightarrow{A'B'} + (\mu - 1) \overrightarrow{A'C'} }[/math]. Но [math]\displaystyle{ A', B', C' }[/math] не лежат на одной прямой [math]\displaystyle{ \Rightarrow \overrightarrow{A'B'} }[/math] и [math]\displaystyle{ \overrightarrow{A'C'} }[/math] — неколлинеарны [math]\displaystyle{ \Rightarrow \lambda = 1 \Rightarrow \overrightarrow{C'D'} = \overrightarrow{A'B'} }[/math]
Если [math]\displaystyle{ A, B, C, D }[/math] лежат на одной прямой, то возьмём некоторую точку [math]\displaystyle{ G \in S \backslash \texttt\lt A, B \texttt\gt }[/math] и [math]\displaystyle{ H = G + \overrightarrow{AB} }[/math]. Тогда [math]\displaystyle{ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{GH} = \overrightarrow{CD} }[/math] и [math]\displaystyle{ f }[/math] — корректно определено.

2). Аддитивность [math]\displaystyle{ f }[/math]

[math]\displaystyle{ f(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v})=f(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})=f(\overrightarrow{AC})=F(C)-F(A)=F(C)-F(B)+F(B)-F(A)=f(\overrightarrow{AB})+f(\overrightarrow{BC})=f(\overrightarrow{u})+f(\overrightarrow{v}) }[/math]

3). Корректность определения [math]\displaystyle{ \phi }[/math]

Определим [math]\displaystyle{ \phi: K \rightarrow K' }[/math] как такое отображение, для которого [math]\displaystyle{ f(\lambda \overrightarrow{u})=\phi(\lambda) f(\overrightarrow{u}) \ \forall \lambda \in K \forall \overrightarrow{u} \in V }[/math] и докажем корректность его определения.

Пусть [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} \in V }[/math] ненулевой вектор, [math]\displaystyle{ \lambda \in K }[/math], [math]\displaystyle{ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{u}, C = A + \lambda \overrightarrow{u} }[/math]. Тогда [math]\displaystyle{ A, B, C }[/math] — лежат на одной прямой [math]\displaystyle{ F(A), F(B), F(C) }[/math] — тоже лежат на одной прямой [math]\displaystyle{ f(\lambda \overrightarrow{u}) = \alpha f(\overrightarrow{u}) }[/math]. Осталось доказать, что [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] зависит только от [math]\displaystyle{ \lambda }[/math].

Возьмём два ненулевых вектора [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} }[/math] и [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} }[/math]. Пусть [math]\displaystyle{ f(\lambda \overrightarrow{u}) = \alpha f(\overrightarrow{u}), f(\lambda \overrightarrow{v}) = \beta f(\overrightarrow{b}) }[/math]. Если [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} }[/math] и [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} }[/math] — неколлинеарны, то их образы при [math]\displaystyle{ f }[/math] тоже неколлинеарны (иначе образы двух несовпадающих прямых, проходящих через [math]\displaystyle{ A }[/math] с направляющими [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} }[/math] и [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} }[/math] совпали бы, что невозможно в силу инъективности [math]\displaystyle{ F }[/math]). Пусть [math]\displaystyle{ f(\lambda (\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v})) = \gamma f(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) }[/math]. Тогда [math]\displaystyle{ f(\lambda (\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v})) = \alpha f(\overrightarrow{u}) + \beta f(\overrightarrow{v}) = \gamma f(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) = \gamma f(\overrightarrow{u}) + \gamma f(\overrightarrow{v})) \Rightarrow \alpha = \gamma = \beta }[/math].
Если [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} }[/math] и [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} }[/math] — коллинеарны, то выберем вектор [math]\displaystyle{ \overrightarrow{w} }[/math] линейно независимый с ними. Пусть [math]\displaystyle{ f(\lambda \overrightarrow{w}) = \gamma f(\overrightarrow{w}) }[/math]. Тогда по предыдущему утверждению [math]\displaystyle{ \alpha = \gamma = \beta }[/math] и отображение [math]\displaystyle{ \phi }[/math] корректно определено.

4). [math]\displaystyle{ \phi }[/math] — изоморфизм тел

Пусть [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} }[/math] — ненулевой вектор. Тогда [math]\displaystyle{ f((\lambda + \mu)\overrightarrow{u}) = \phi(\lambda + \mu)f(\overrightarrow{u}) = f(\lambda \overrightarrow{u}) + f(\mu \overrightarrow{u}) = (\phi(\lambda) + \phi(\mu))f(\overrightarrow{u}) }[/math]. Образ ненулевого вектора при [math]\displaystyle{ f }[/math] ненулевой, а значит, [math]\displaystyle{ \phi(\lambda + \mu)=\phi(\lambda)+\phi(\mu) }[/math].

[math]\displaystyle{ f((\lambda\mu)\overrightarrow{u}) = \phi(\lambda\mu)f(\overrightarrow{u}) = \phi(\lambda)f(\mu\overrightarrow{u}) = \phi(\lambda)\phi(\mu)f(\overrightarrow{u}) }[/math] и [math]\displaystyle{ \phi(\lambda\mu)=\phi(\lambda)+phi(\mu) }[/math] так как образ ненулевого вектора ненулевой.

Пусть [math]\displaystyle{ g(\lambda) = A + \lambda \overrightarrow{u} }[/math] — биекция [math]\displaystyle{ K }[/math] на [math]\displaystyle{ D = A + \overrightarrow{u} }[/math], ограничение [math]\displaystyle{ F }[/math] на [math]\displaystyle{ D }[/math] — биекция в [math]\displaystyle{ F(D) }[/math]. Тогда [math]\displaystyle{ F(g(\lambda)) = F(A) + \phi(\lambda) f(\overrightarrow{u}) }[/math] — биекция [math]\displaystyle{ K }[/math] на [math]\displaystyle{ F(D) }[/math], из чего следует, что [math]\displaystyle{ \phi }[/math] — биекция.

Лемма 2 (геометрическая характеризация аффинных подпространств). Пусть [math]\displaystyle{ K }[/math] имеет не менее трёх элементов. Если подмножество [math]\displaystyle{ S }[/math] аффинного пространства [math]\displaystyle{ S' }[/math] ассоциированного с векторным пространством [math]\displaystyle{ V }[/math] над [math]\displaystyle{ K }[/math] вместе с любыми двумя точками [math]\displaystyle{ A, B }[/math] включает в себя [math]\displaystyle{ \texttt\lt A, B \texttt\gt }[/math], то это подмножество — аффинное подпространство в [math]\displaystyle{ S }[/math].

Доказательство. Для доказательства этой леммы необходимо доказать, что [math]\displaystyle{ E = \{\overrightarrow{AB} | A, B \in S\} }[/math] — подпространство в [math]\displaystyle{ V }[/math].

[math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} \in E \Rightarrow \exists A, B \in S: \overrightarrow{v}=\overrightarrow{AB} \Rightarrow \texttt\lt A, B \texttt\gt \subset S \Rightarrow A + \lambda \overrightarrow{AB} = C \in S \Rightarrow \overrightarrow{AC} = \lambda\overrightarrow{AB}=\lambda\overrightarrow{v} \in E }[/math]

Докажем, что [math]\displaystyle{ \forall A, B, C \in S: A + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \in S }[/math]. Возьмём [math]\displaystyle{ k \in K \backslash \{0, 1\} }[/math]. Так как [math]\displaystyle{ \texttt\lt A, B \texttt\gt \subset S, \texttt\lt A, C \texttt\gt \subset S }[/math], то [math]\displaystyle{ B' = A + k^{-1} \overrightarrow{AB} \in S, C' = A + (1-k)^{-1} \overrightarrow{AC} \in S }[/math]. Тогда [math]\displaystyle{ C' + k\overrightarrow{C'B'} = A + \overrightarrow{AC'} + k\overrightarrow{C'B'} = A + (1 - k)^{-1}\overrightarrow{AC} + kk^{-1} \overrightarrow{AB} - k(1-k)^{-1} \overrightarrow{AC} = A + \overrightarrow{AB} + (1 - k)^{-1}(1 - k)\overrightarrow{AC} = A + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \in S }[/math].

Пусть [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v}, \overrightarrow{u} \in E \Rightarrow \exists A, B, C, D \in S: \overrightarrow{v}=\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{u}=\overrightarrow{CD} }[/math]. Тогда [math]\displaystyle{ G = C + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{CA} \in S, H = A + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AG} \in S }[/math]. [math]\displaystyle{ \overrightarrow{AH} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + C + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{CA} - A = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} \in E \Rightarrow E }[/math] — подпространство в [math]\displaystyle{ V }[/math].

Лемма 2 для [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}. }[/math] Если подмножество аффинного пространства [math]\displaystyle{ S }[/math] ассоциированного с векторным пространством [math]\displaystyle{ V }[/math] над [math]\displaystyle{ K }[/math] вместе с любыми трёмя точками [math]\displaystyle{ A, B, C }[/math] включает в себя [math]\displaystyle{ \texttt\lt A, B, C \texttt\gt }[/math], то это подмножество — аффинное подпространство в [math]\displaystyle{ S }[/math].

Доказательство.

[math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} \in E \Rightarrow 0\overrightarrow{v} = \overrightarrow{0} \in E, 1\overrightarrow{v} = \overrightarrow{v} \in E }[/math]

Пусть [math]\displaystyle{ \forall A, B, C \in S \Rightarrow A + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \in \texttt\lt A, B, C \texttt\gt \subset S \Rightarrow \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \in E }[/math]. Далее аналогично предыдущему доказательству.

Доказательство основной теоремы аффинной геометрии.

Основная идея доказательства теоремы для общего случая — факторизация отображения [math]\displaystyle{ F }[/math] в композицию инъективной и сюръективной составляющих и доказательство полуаффинности каждой в отдельности. Далее везде образы точек [math]\displaystyle{ A, B, C, ... }[/math] при [math]\displaystyle{ F }[/math] соответственно [math]\displaystyle{ A', B', C', ... }[/math].

Для [math]\displaystyle{ K \neq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} }[/math]

1). Образ подпространства [math]\displaystyle{ R }[/math] в [math]\displaystyle{ S }[/math] при [math]\displaystyle{ F }[/math] — подпространство в [math]\displaystyle{ S' }[/math]

Пусть [math]\displaystyle{ F(R) = R' }[/math]. Возьмём произвольные две точки [math]\displaystyle{ A', B' \in R' }[/math] и их прообразы [math]\displaystyle{ A, B \in R }[/math]. Тогда [math]\displaystyle{ \texttt\lt A', B' \texttt\gt \subset F(\texttt\lt A, B \texttt\gt ) \subset R' \Rightarrow }[/math] по лемме 2 [math]\displaystyle{ R' }[/math] — подпространство в [math]\displaystyle{ R }[/math].

2). [math]\displaystyle{ \forall A, B \in S \ F(\texttt\lt A, B \texttt\gt ) = \texttt\lt A', B' \texttt\gt }[/math]

Если [math]\displaystyle{ A = B }[/math], то [math]\displaystyle{ A' = B' }[/math] и [math]\displaystyle{ F(\texttt\lt A, B \texttt\gt ) = F(A) = A' = F(B) = B' = \texttt\lt A', B' \texttt\gt }[/math]
Если [math]\displaystyle{ A \neq B }[/math] и [math]\displaystyle{ A' \neq B' }[/math], то [math]\displaystyle{ \texttt\lt A, B \texttt\gt }[/math] — прямая, и образом должна быть прямая, проходящая через [math]\displaystyle{ A', B' }[/math], то есть [math]\displaystyle{ \texttt\lt A', B' \texttt\gt }[/math]
Если [math]\displaystyle{ A \neq B }[/math] и [math]\displaystyle{ A' = B' }[/math], то предположим, что есть точка [math]\displaystyle{ C \in \texttt\lt A, B \texttt\gt }[/math] такая, что [math]\displaystyle{ C' \neq A' }[/math]. Так как [math]\displaystyle{ \operatorname{dim}{F(S)} \geq 2 }[/math] можно построить параллелограмм [math]\displaystyle{ A'C'H'G' }[/math]. [math]\displaystyle{ F(\texttt\lt A, B \texttt\gt ) = \texttt\lt A', C' \texttt\gt \Rightarrow G \notin \texttt\lt A, B \texttt\gt }[/math] ([math]\displaystyle{ G }[/math] любой прообраз [math]\displaystyle{ G' }[/math]). По (1) подпространства переходят в подпространства [math]\displaystyle{ \texttt\lt A', C', G' \texttt\gt \subset F(\texttt\lt A, C, G \texttt\gt ) \Rightarrow }[/math] в [math]\displaystyle{ \texttt\lt A', C', G' \texttt\gt }[/math] есть прообраз [math]\displaystyle{ H' }[/math] (обозначим его [math]\displaystyle{ }[/math]). Тогда [math]\displaystyle{ CH \parallel AG \parallel BG }[/math], так как если бы эти прямые пересекались, то у одной точки было бы 2 образа. Но [math]\displaystyle{ AG }[/math] и [math]\displaystyle{ BG }[/math] пересекаются в точке [math]\displaystyle{ G }[/math], а значит, не могут быть параллельными. Противоречие. Значит все точки [math]\displaystyle{ \texttt\lt A, B \texttt\gt }[/math] переходят в одну и [math]\displaystyle{ F(\texttt\lt A, B \texttt\gt ) = F(A) = A' = F(B) = B' = \texttt\lt A', B' \texttt\gt }[/math]

3). Прообраз подпространства [math]\displaystyle{ R' }[/math] в [math]\displaystyle{ S' }[/math] при [math]\displaystyle{ F }[/math] — подпространство в [math]\displaystyle{ S }[/math] или пустое множество.

Пусть [math]\displaystyle{ R = F^{-1}(R') }[/math] непусто, [math]\displaystyle{ A, B \in R }[/math]. По (2) [math]\displaystyle{ F(\texttt\lt A, B \texttt\gt ) = \texttt\lt A', B' \texttt\gt \subset R' }[/math], так как [math]\displaystyle{ R' }[/math] — подпространство [math]\displaystyle{ S' }[/math]. Тогда [math]\displaystyle{ \texttt\lt A, B \texttt\gt \subset R \Rightarrow R }[/math] — подпространство по лемме 2.

Для [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} }[/math]

1). Образ подпространства [math]\displaystyle{ R }[/math] в [math]\displaystyle{ S }[/math] при [math]\displaystyle{ F }[/math] — подпространство в [math]\displaystyle{ S' }[/math]

Пусть [math]\displaystyle{ F(R) = R' }[/math]. Возьмём произвольные три точки [math]\displaystyle{ A', B', C' \in R' }[/math] и их прообразы [math]\displaystyle{ A, B \in R }[/math]. Тогда [math]\displaystyle{ \texttt\lt A', B', C' \texttt\gt \subset F(\texttt\lt A, B, C \texttt\gt ) \subset R' \Rightarrow }[/math] по лемме 2 [math]\displaystyle{ R' }[/math] — подпространство в [math]\displaystyle{ R }[/math].

2). [math]\displaystyle{ \forall A, B, C \in S \ F(\texttt\lt A, B, C \texttt\gt ) = \texttt\lt A', B', C' \texttt\gt }[/math]

Если [math]\displaystyle{ A = B = C }[/math], то [math]\displaystyle{ A' = B' = C' }[/math] и [math]\displaystyle{ F(\texttt\lt A, B, C \texttt\gt ) = F(A) = A' = F(B) = B' = F(C) = C' = \texttt\lt A', B', C' \texttt\gt }[/math]
Если [math]\displaystyle{ A = B \neq C }[/math], то [math]\displaystyle{ \texttt\lt A, B, C \texttt\gt }[/math] — прямая [math]\displaystyle{ \Rightarrow \texttt\lt A, B, C \texttt\gt = \{A, C\} \Rightarrow F(\texttt\lt A, B, C \texttt\gt ) = \{A', C'\} = \texttt\lt A', B', C' \texttt\gt }[/math]
Если [math]\displaystyle{ A \neq B \neq C }[/math] и [math]\displaystyle{ A' \neq B' \neq C' }[/math], то [math]\displaystyle{ \texttt\lt A, B, C \texttt\gt }[/math] переходит в плоскость, проходящую через [math]\displaystyle{ A', B', C' }[/math], то есть [math]\displaystyle{ F(\texttt\lt A, B, C \texttt\gt ) = \texttt\lt A', B', C' \texttt\gt }[/math]
Если [math]\displaystyle{ A \neq B \neq C }[/math] и [math]\displaystyle{ A' = B' \neq C' }[/math], то [math]\displaystyle{ \texttt\lt A, B, C \texttt\gt }[/math] переходит в прямую, проходящую через [math]\displaystyle{ A', B', C' }[/math], то есть [math]\displaystyle{ F(\texttt\lt A, B, C \texttt\gt ) = \texttt\lt A', B', C' \texttt\gt }[/math]
Если [math]\displaystyle{ A \neq B \neq C }[/math] и [math]\displaystyle{ A' = B' = C' }[/math], то [math]\displaystyle{ \texttt\lt A, B, C \texttt\gt }[/math] переходит в прямую или точку. Предположим, что в прямую, то есть для [math]\displaystyle{ D=A+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC} \ F(D)=D' \neq A' }[/math]. Так как [math]\displaystyle{ \operatorname{dim}{F(S)} \geq 2 }[/math] выберем точку [math]\displaystyle{ G' }[/math] так, чтобы она не совпадала ни с [math]\displaystyle{ A', D' }[/math]. Возьмём её прообраз [math]\displaystyle{ G }[/math]. В плоскости [math]\displaystyle{ ABG }[/math] есть ещё одна точка. Назовём её [math]\displaystyle{ H }[/math]. Плоскость [math]\displaystyle{ ABG }[/math] переходит в плоскость, из-за чего [math]\displaystyle{ H' }[/math] это новая точка. Плоскость [math]\displaystyle{ ABC }[/math] состоит из двух параллельных [math]\displaystyle{ GH }[/math] прямых, одна из которых переходит в точку [math]\displaystyle{ A' }[/math], а другая в прямую. Возьмём ту, которая переходит в точку. Тогда вместе с [math]\displaystyle{ GH }[/math] они образуют плоскость, которая переходит в множество из трёх точек. Противоречие. Значит [math]\displaystyle{ \texttt\lt A, B, C \texttt\gt }[/math] переходит в точку и [math]\displaystyle{ F(\texttt\lt A, B, C \texttt\gt ) = F(A) = A' = F(B) = B' = F(C) = C' = \texttt\lt A', B', C' \texttt\gt }[/math].

3). Прообраз подпространства [math]\displaystyle{ R' }[/math] в [math]\displaystyle{ S' }[/math] при [math]\displaystyle{ F }[/math] — подпространство в [math]\displaystyle{ S }[/math] или пустое множество.

Пусть [math]\displaystyle{ R = F^{-1}(R') }[/math] непусто, [math]\displaystyle{ A, B, C \in R }[/math]. По (2) [math]\displaystyle{ F(\texttt\lt A, B, C \texttt\gt ) = \texttt\lt A', B', C' \texttt\gt \subset R' }[/math], так как [math]\displaystyle{ R' }[/math] — подпространство [math]\displaystyle{ S' }[/math]. Тогда [math]\displaystyle{ \texttt\lt A, B, C \texttt\gt \subset R \Rightarrow R }[/math] — подпространство по лемме 2.

Для любого тела

4). [math]\displaystyle{ X }[/math] — подмножество [math]\displaystyle{ S }[/math]. Тогда [math]\displaystyle{ F(\texttt\lt X \texttt\gt )=\texttt\lt F(X) \texttt\gt }[/math]

[math]\displaystyle{ X \subset \texttt\lt X \texttt\gt \Rightarrow F(X) \subset F(\texttt\lt X \texttt\gt ). }[/math] Но по (1) [math]\displaystyle{ F(\texttt\lt X \texttt\gt ) }[/math] — аффинное подпространство [math]\displaystyle{ \Rightarrow \texttt\lt F(x) \texttt\gt \subset F(\texttt\lt X \texttt\gt ) }[/math].

[math]\displaystyle{ F(X) \subset \texttt\lt F(X) \texttt\gt \Rightarrow X \subset F^{-1}(\texttt\lt F(X) \texttt\gt ) }[/math]. По (3) [math]\displaystyle{ F^{-1}(\texttt\lt F(X) \texttt\gt ) }[/math] — аффинное подпространство [math]\displaystyle{ \Rightarrow \texttt\lt X \texttt\gt \subset F^{-1}(\texttt\lt F(X) \texttt\gt ) \Rightarrow F(\texttt\lt X \texttt\gt ) \subset \texttt\lt F(X) \texttt\gt }[/math]

5). Образы параллельных прямых либо совпадают, либо не пересекаются

Обозначим эти прямые как [math]\displaystyle{ L_1, L_2 }[/math], их образы [math]\displaystyle{ L_1', L_2' }[/math]. Пусть [math]\displaystyle{ L_1' }[/math] и [math]\displaystyle{ L_2' }[/math] пересекаются. Тогда на каждой из прямой [math]\displaystyle{ L_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ L_2 }[/math] есть точка [math]\displaystyle{ A_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ A_2 }[/math] соответственно такие, что их образ есть эта точка пересечения. Выберем на [math]\displaystyle{ L_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ L_2 }[/math] по ещё одной точке [math]\displaystyle{ B_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ B_2 }[/math] соответственно. Тогда [math]\displaystyle{ L_1' = F(L_1) = F(\texttt\lt A_1, B_1 \texttt\gt ) = \texttt\lt A_1', B_1' \texttt\gt = \texttt\lt A_1', A_2', B_1' \texttt\gt = F(\texttt\lt A_1, A_2, B_1 \texttt\gt ) = F(\texttt\lt A_1, A_2, B_1, B_2 \texttt\gt ) = F(\texttt\lt A_1, A_2, B_2 \texttt\gt ) = \texttt\lt A_1', A_2', B_2' \texttt\gt = \texttt\lt A_2', B_2' \texttt\gt = F(\texttt\lt A_2, B_2 \texttt\gt ) = F(L_2) = L_2' }[/math]

6). Пусть образы параллельных прямых не имеют общих точек. Тогда это либо параллельные прямые, либо точки

Возьмём две различные точки [math]\displaystyle{ A, B \in L_1 }[/math] и точку [math]\displaystyle{ C \in L_2 }[/math]. Тогда [math]\displaystyle{ F(\texttt\lt L_1, L_2 \texttt\gt ) = F(\texttt\lt A, B, C \texttt\gt ) = \texttt\lt L_1', L_2' \texttt\gt = \texttt\lt A', B', C' \texttt\gt \Rightarrow L_1' }[/math] и [math]\displaystyle{ L_2' }[/math] лежат в одной плоскости.
Пусть [math]\displaystyle{ L_1' }[/math] — прямая, тогда [math]\displaystyle{ \texttt\lt A', B', C' \texttt\gt }[/math] имеет размерность [math]\displaystyle{ 2 }[/math]. Пусть [math]\displaystyle{ L_2' }[/math] — точка, тогда возьмём ещё одну точку [math]\displaystyle{ D \neq C }[/math] на прямой [math]\displaystyle{ L_2 }[/math] и [math]\displaystyle{ \texttt\lt A', B', C' \texttt\gt = F(\texttt\lt A, B, C \texttt\gt ) = F(\texttt\lt A, C, D \texttt\gt ) = \texttt\lt A', C', D' \texttt\gt = \texttt\lt A', C'\texttt\gt }[/math], то есть размерность [math]\displaystyle{ \texttt\lt A', B', C' \texttt\gt }[/math] меньше [math]\displaystyle{ 2 }[/math]. Противоречие. Значит [math]\displaystyle{ L_1', L_2' }[/math] либо оба прямые, либо оба точки, причём если это прямые, то параллельные, так как они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

7). Все непустые прообразы точек имеют одно и то же направляющее подпространство

Пусть [math]\displaystyle{ A', B' }[/math] разные точки [math]\displaystyle{ S' }[/math] с непустым прообразом. Обозначим эти прообразы [math]\displaystyle{ A^*, B^* }[/math]. По (3) это аффинные подпространства, а значит, у них есть направляющие подпространства (обозначим [math]\displaystyle{ E }[/math] и [math]\displaystyle{ W }[/math] соответственно). Пусть [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} \in E }[/math], [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} \neq \overrightarrow{0} }[/math]. Возьмём некоторую точку [math]\displaystyle{ A_1 \in A^* }[/math] и [math]\displaystyle{ A_2 = A_1 + \overrightarrow{v} }[/math]. Так же возьмём [math]\displaystyle{ B_1 \in B^* }[/math] и [math]\displaystyle{ B_2 = B_1 + \overrightarrow{v} }[/math]. [math]\displaystyle{ A_2 \in A^* \Rightarrow \texttt\lt A_1, A_2 \texttt\gt \subset A^* \Rightarrow F(\texttt\lt A_1, A_2 \texttt\gt ) = \{A\} }[/math]. Прямая [math]\displaystyle{ \texttt\lt A_1, A_2 \texttt\gt }[/math] параллельна [math]\displaystyle{ \texttt\lt B_1, B_2 \texttt\gt \Rightarrow F(\texttt\lt B_1, B_2 \texttt\gt ) = \{B\} \Rightarrow \texttt\lt B_1, B_2 \texttt\gt \subset B^* \Rightarrow \overrightarrow{v} \in W \Rightarrow E \subset W }[/math]. Поменяв местами [math]\displaystyle{ E }[/math] и [math]\displaystyle{ W }[/math] получаем [math]\displaystyle{ W \subset E }[/math], а значит [math]\displaystyle{ E = W }[/math].

8). Сюръективная составляющая F — аффинное отображение

Разложим [math]\displaystyle{ F }[/math] на инъективную и сюръективную составляющие [math]\displaystyle{ F = h \circ g }[/math]. По определению сюръективной составляющей [math]\displaystyle{ g: S \rightarrow S/\sim }[/math], где [math]\displaystyle{ \sim }[/math] отношение эквивалентности, определённое как [math]\displaystyle{ A\sim B \Leftrightarrow F(A)=F(B) }[/math], [math]\displaystyle{ g }[/math] — проекция множества в фактормножество. Обозначим за [math]\displaystyle{ W }[/math] направляющее подпространство непустых прообразов при [math]\displaystyle{ F }[/math] точек. Тогда [math]\displaystyle{ A\sim B \Leftrightarrow F(A)=F(B) \Leftrightarrow A \in F^{-1}(F(B)) \Leftrightarrow A \in B + W \Leftrightarrow A - B \in W }[/math], что совпадает с определением отношения эквивалентности при построение факторпространства аффинного пространства, а значит, [math]\displaystyle{ S/\sim = S/W }[/math] и проекция [math]\displaystyle{ g }[/math] является аффинным отображением.

9). Инъективная составляющая F — полуаффинное отображение

Пусть [math]\displaystyle{ L }[/math] — некоторая прямая в [math]\displaystyle{ S/W }[/math]. Так как [math]\displaystyle{ g }[/math] — аффинно, то её прообраз [math]\displaystyle{ L^* }[/math] при [math]\displaystyle{ g }[/math] подпространство в [math]\displaystyle{ S }[/math]. Возьмём две различные точки [math]\displaystyle{ A, B \in L }[/math] и некоторые точки [math]\displaystyle{ A'', B'' }[/math] из их прообразов. Тогда [math]\displaystyle{ g(\texttt\lt A'', B'' \texttt\gt ) = \texttt\lt A, B \texttt\gt }[/math]. В свою очередь [math]\displaystyle{ F(\texttt\lt A'', B'' \texttt\gt ) = h(g(\texttt\lt A'', B'' \texttt\gt )) = h(\texttt\lt A, B \texttt\gt ) }[/math] либо прямая, либо точка. Но если бы это была точка, это бы противоречило инъективности [math]\displaystyle{ h }[/math], а значит, это прямая.

Пусть [math]\displaystyle{ L_1, L_2 }[/math] — некоторые параллельные прямые в [math]\displaystyle{ S/W }[/math]. Аналогично предыдущим выкладкам берём точки [math]\displaystyle{ A_1'', B_1'', A_2'', B_2'' \in S }[/math] такие, что [math]\displaystyle{ g(\texttt\lt A_1'', B_1'' \texttt\gt ) = L_1, g(\texttt\lt A_2'', B_2'' \texttt\gt ) = L_2 }[/math]. Но [math]\displaystyle{ F(\texttt\lt A_i'', B_i'' \texttt\gt ) = h(g(\texttt\lt A_i'', B_i'' \texttt\gt )) = h(L_i) }[/math] либо совпадают, либо параллельны, либо точки. Первый и третий случай противоречат инъективности [math]\displaystyle{ h }[/math], что означает, что они параллельны.

Если [math]\displaystyle{ S/W }[/math] одна точка, то тогда [math]\displaystyle{ F(S)=h(g(S))=h(S/W) }[/math] одна точка. Если [math]\displaystyle{ S/W }[/math] — прямая, то [math]\displaystyle{ F(S)=h(g(S))=h(S/W) }[/math] прямая, так как [math]\displaystyle{ h }[/math] переводит прямые в прямые. Значит, [math]\displaystyle{ \operatorname{dim}{S/W} \geq 2 }[/math].

Все условия леммы 1 выполнены, а значит, [math]\displaystyle{ h }[/math] — полуаффинное отображение.

10). Основная теорема аффинной геометрии

Любое аффинное отображение полуаффинное, следовательно, [math]\displaystyle{ g }[/math] — полуаффинно. Композиция полуаффинных отображений полуаффинно, а значит, [math]\displaystyle{ F=h \circ g }[/math] — полуаффинно.

Вариации и обобщения

• Классической основной теоремой аффинной геометрии называют следствие приведённой выше теоремы для евклидовых пространств. Она формулируется так:

Биективное отображение евклидова пространства размерности не менее 2 в себя, переводящее прямые в прямые, является аффинным преобразованием.

Этот факт следует из того, что полуаффинные отображения между пространствами над полем [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math] являются аффинными, так как на [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math] есть только тривиальный автоморфизм.

• Более общий случай: если тела, над которыми определены пространства, имеют только тривиальный автоморфизм, то везде в формулировке можно заменить термин полуаффинное отображение на аффинное отображение.
• Теорема верна и в обратную сторону, доказательство этого сводится к свойству полулинейных отображений, гласящему, что подпространства переходят в подпространство. Таким образом, теорема устанавливает эквивалентность двух определений полуаффинного отображения.
• Если в формулировке дополнительно потребовать сюръективность [math]\displaystyle{ F }[/math], конечномерность [math]\displaystyle{ S }[/math] и [math]\displaystyle{ S' }[/math], а так же совпадение их размерностей, то в случае [math]\displaystyle{ K, K' \neq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} }[/math] условие того, что образ прямой прямая или точка, можно ослабить до 3 коллинеарные точки переходят в 3 коллинеарные точки.

Доказательство

Лемма. Любая точка конечномерного аффинного пространства над телом отличным от [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} }[/math] лежит на некоторой прямой, проходящей через не общие точки любых пересекающихся прямой и гиперплоскости (либо это и есть эта точка пересечения). 

Доказательство. Возьмём гиперплоскость [math]\displaystyle{ \texttt\lt A, A_1, ..., A_{n-1} \texttt\gt }[/math] и прямую [math]\displaystyle{ \texttt\lt A, A_n \texttt\gt }[/math]. Тогда любая точка [math]\displaystyle{ X }[/math] из пространства представима в виде [math]\displaystyle{ X = A + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}, B \in \texttt\lt A, A_1, ..., A_{n-1} \texttt\gt , C \in \texttt\lt A, A_n \texttt\gt }[/math]. Аналогично лемме 2 из доказательства основной теоремы аффинной геометрии возьмём [math]\displaystyle{ k \in K \backslash \{0, 1\} }[/math], [math]\displaystyle{ B' = A + k^{-1} \overrightarrow{AB}, C' = A + (1-k)^{-1} \overrightarrow{AC} }[/math] и [math]\displaystyle{ X \in \texttt\lt B', C' \texttt\gt }[/math].

Основное доказательство.

Предположим, что есть некоторая прямая [math]\displaystyle{ L }[/math], которая не переходит в прямую. Но по условию коллинеарные точки переходят в коллинеарные, что означает, что есть некоторая прямая [math]\displaystyle{ L' }[/math], в которой лежит образ [math]\displaystyle{ L }[/math]. По предположению есть такая точка [math]\displaystyle{ C' \in L' }[/math], что точка её прообраза [math]\displaystyle{ C \notin L }[/math]. Также возьмём две разные точки [math]\displaystyle{ A, B \in L }[/math]. Тогда прямые [math]\displaystyle{ \texttt\lt A, C \texttt\gt }[/math] и [math]\displaystyle{ \texttt\lt B, C \texttt\gt }[/math] пересекаются, и по лемме любая точка плоскости лежит на некоторой прямой [math]\displaystyle{ L_1 }[/math], пересекающей [math]\displaystyle{ AC }[/math] и [math]\displaystyle{ BC }[/math] в разных точках. [math]\displaystyle{ F(AC),F(BC) \subset L' \Rightarrow F(L_1) \subset L' \Rightarrow F(X) \in L' \Rightarrow F(\texttt\lt A, B, C \texttt\gt ) \subset L' }[/math].

Индукция по размерности: пусть образ некоторого подпространства [math]\displaystyle{ R }[/math] размерности [math]\displaystyle{ k \lt n }[/math] лежит в подпространстве [math]\displaystyle{ R' }[/math] размерности [math]\displaystyle{ k - 1 }[/math]. Возьмём некоторую точку [math]\displaystyle{ C' \in S', C' \notin R' }[/math] и точку её прообраза [math]\displaystyle{ C \notin R }[/math]. Возьмём прямую [math]\displaystyle{ L_2 }[/math] проходящую через [math]\displaystyle{ C }[/math] и пересекающую [math]\displaystyle{ R }[/math]. Тогда любая точка [math]\displaystyle{ X }[/math] подпространства [math]\displaystyle{ \texttt\lt R, C \texttt\gt }[/math] лежит на некоторой прямой [math]\displaystyle{ L_3 }[/math], пересекающей [math]\displaystyle{ L_2 }[/math] и [math]\displaystyle{ R }[/math] в разных точках и [math]\displaystyle{ F(X) \subset F(L_3) \subset \texttt\lt R', C' \texttt\gt }[/math], то есть для любой размерности [math]\displaystyle{ k \leq n }[/math] есть подпространство, образ которого лежит в подпространстве меньшей размерности, что означает, что [math]\displaystyle{ \operatorname{dim}{S} \lt \operatorname{dim}{S'} }[/math]. Противоречие. Значит прямые переходят в прямые и условия основной теоремы аффинной геометрии выполнены.

Применение

Основная теорема аффинной геометрии позволяет определить полуаффинные отображения на основе чисто геометрических свойств. Такое определение часто используется в аксиоматических теориях, а определение данное в начале статьи доказывается как свойство. Однако такое определение сопряжено с некоторыми трудностями, начиная со сложности доказательства эквивалентности двух разных определений и заканчивая невозможностью определить таким образом полуаффинные отображения с прямой или точкой в качестве образа.

См. также

• Полуаффинное отображение
• Полулинейное отображение

Литература

• Берже М.  Геометрия / И. Х. Сабитов; пер. с франц. Ю. Н. Сударёв, А. В. Пажитнов, С. В. Чмутов. — М., 1984. — Т. 1. — 560 с.
• Лелон-Ферран Ж.  Основания геометрии / пер. с франц. В. В. Рыжков. — М., 1989. — 312 с. — ISBN 5-03-001008-4.
• Прасолов В. В., Тихомиров В. М.  Геометрия. — 2-е изд. — М., 2007. — 328 с. — ISBN 978-5-94057-267-1.