Определитель Грама

Определителем Грама (грамианом) системы векторов [math]\displaystyle{ \mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_2,\;\ldots,\mathbf{e}_n }[/math] в евклидовом пространстве называется определитель матрицы Грама этой системы:

[math]\displaystyle{ \begin{vmatrix} \langle e_1,\;e_1\rangle & \langle e_1,\;e_2\rangle & \ldots & \langle e_1,\;e_n\rangle \\ \langle e_2,\;e_1\rangle & \langle e_2,\;e_2\rangle & \ldots & \langle e_2,\;e_n\rangle \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ \langle e_n,\;e_1\rangle & \langle e_n,\;e_2\rangle & \ldots & \langle e_n,\;e_n\rangle \\ \end{vmatrix}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ \langle e_i,\;e_j\rangle }[/math] — скалярное произведение векторов [math]\displaystyle{ \mathbf{e}_i }[/math] и [math]\displaystyle{ \mathbf{e}_j }[/math].

Матрица Грама возникает из следующей задачи линейной алгебры:

Пусть в евклидовом пространстве [math]\displaystyle{ V }[/math] система векторов [math]\displaystyle{ \mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_2,\;\ldots,\mathbf{e}_n }[/math] порождает подпространство [math]\displaystyle{ U }[/math]. Зная, чему равны скалярные произведения вектора [math]\displaystyle{ \mathbf{x} }[/math] из [math]\displaystyle{ U }[/math] с каждым из этих векторов, найти коэффициенты разложения вектора [math]\displaystyle{ x }[/math] по векторам [math]\displaystyle{ \mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_2,\;\ldots,\mathbf{e}_n }[/math].

Исходя из разложения

[math]\displaystyle{ \mathbf{x}=x_1\mathbf{e}_1+x_2\mathbf{e}_2+\ldots+x_n\mathbf{e}_n, }[/math]

получается линейная система уравнений с матрицей Грама:

[math]\displaystyle{ \begin{cases} \langle\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_1\rangle x_1+\langle\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_2\rangle x_2+\ldots+\langle\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_n\rangle x_n= \langle\mathbf{e}_1,\;\mathbf{x}\rangle; \\ \langle\mathbf{e}_2,\;\mathbf{e}_1\rangle x_1+\langle\mathbf{e}_2,\;\mathbf{e}_2\rangle x_2+\ldots+\langle\mathbf{e}_2,\;\mathbf{e}_n\rangle x_n=\langle\mathbf{e}_2,\;\mathbf{x}\rangle; \\ \quad\ldots\quad\ldots\quad\ldots\quad\ldots\quad\ldots\quad\ldots\quad\ldots\quad\ldots\quad\ldots\quad \\ \langle\mathbf{e}_n,\;\mathbf{e}_1\rangle x_1+\langle\mathbf{e}_n,\;\mathbf{e}_2\rangle x_2+\ldots+\langle\mathbf{e}_n,\;\mathbf{e}_n\rangle x_n=\langle\mathbf{e}_n,\;\mathbf{x}\rangle. \\ \end{cases} }[/math]

Эта задача однозначно разрешима тогда и только тогда, когда векторы [math]\displaystyle{ \mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_2,\;\ldots,\mathbf{e}_n }[/math] линейно независимы. Поэтому обращение в ноль определителя Грама системы векторов — это критерий их линейной зависимости.

Геометрический смысл определителя Грама

Геометрический смысл определителя Грама раскрывается при решении следующей задачи:

Пусть в евклидовом пространстве [math]\displaystyle{ V }[/math] система векторов [math]\displaystyle{ \mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_2,\;\ldots,\mathbf{e}_n }[/math] порождает подпространство [math]\displaystyle{ U }[/math]. Зная скалярные произведения вектора [math]\displaystyle{ \mathbf{x} }[/math] из [math]\displaystyle{ V }[/math] с каждым из этих векторов, найти расстояние от [math]\displaystyle{ \mathbf{x} }[/math] до [math]\displaystyle{ U }[/math].

Минимум расстояний [math]\displaystyle{ |\mathbf{x}-\mathbf{u}| }[/math] по всем векторам [math]\displaystyle{ \mathbf{u} }[/math] из [math]\displaystyle{ U }[/math] достигается на ортогональной проекции вектора [math]\displaystyle{ \mathbf{x} }[/math] на [math]\displaystyle{ U }[/math]. При этом [math]\displaystyle{ \mathbf{x}=\mathbf{u}+\mathbf{n} }[/math], где вектор [math]\displaystyle{ \mathbf{n} }[/math] перпендикулярен всем векторам из [math]\displaystyle{ U }[/math], и расстояние от [math]\displaystyle{ \mathbf{x} }[/math] до [math]\displaystyle{ U }[/math] равно модулю вектора [math]\displaystyle{ \mathbf{n} }[/math]. Для вектора [math]\displaystyle{ \mathbf{u} }[/math] решается задача о разложении (см. выше) по векторам [math]\displaystyle{ \mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_2,\;\ldots,\mathbf{e}_n }[/math], и решение получившейся системы выписывается по правилу Крамера:

[math]\displaystyle{ \mathbf{u}=-\frac{1}{\Gamma}\begin{vmatrix} \langle\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_1\rangle & \langle\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_2\rangle & \ldots & \langle\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_n\rangle & \langle\mathbf{e}_1,\;\mathbf{x}\rangle \\ \langle\mathbf{e}_2,\;\mathbf{e}_1\rangle & \langle\mathbf{e}_2,\;\mathbf{e}_2\rangle & \ldots & \langle\mathbf{e}_2,\;\mathbf{e}_n\rangle & \langle \mathbf{e}_2,\;\mathbf{x}\rangle \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ \langle\mathbf{e}_n,\;\mathbf{e}_1\rangle & \langle\mathbf{e}_n,\;\mathbf{e}_2\rangle & \ldots & \langle\mathbf{e}_n,\;\mathbf{e}_n\rangle & \langle\mathbf{e}_n,\;\mathbf{x}\rangle \\ \mathbf{e}_1 & \mathbf{e}_2 & \ldots & \mathbf{e}_n & \mathbf{0} \end{vmatrix}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ \Gamma }[/math] — определитель Грама системы. Вектор [math]\displaystyle{ \mathbf{n} }[/math] равен:

[math]\displaystyle{ \mathbf{n}=\mathbf{x}-\mathbf{u}=\frac{1}{\Gamma}\begin{vmatrix} \langle\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_1\rangle & \langle\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_2\rangle & \ldots & \langle\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_n\rangle & \langle\mathbf{e}_1,\;\mathbf{x}\rangle \\ \langle\mathbf{e}_2,\;\mathbf{e}_1\rangle & \langle\mathbf{e}_2,\;\mathbf{e}_2\rangle & \ldots & \langle\mathbf{e}_2,\;\mathbf{e}_n\rangle & \langle\mathbf{e}_2,\;\mathbf{x}\rangle \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ \langle\mathbf{e}_n,\;\mathbf{e}_1\rangle & \langle\mathbf{e}_n,\;\mathbf{e}_2\rangle & \ldots & \langle\mathbf{e}_n,\;\mathbf{e}_n\rangle & \langle\mathbf{e}_n,\;\mathbf{x}\rangle \\ \mathbf{e}_1 & \mathbf{e}_2 & \ldots & \mathbf{e}_n & \mathbf{x} \end{vmatrix} }[/math]

и квадрат его модуля равен

[math]\displaystyle{ |\mathbf{n}|^2=\langle\mathbf{n},\;\mathbf{x}\rangle=\frac{\Gamma(\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_2,\;\ldots,\;\mathbf{e}_n,\;\mathbf{x})}{\Gamma(\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_2,\;\ldots,\;\mathbf{e}_n)}. }[/math]

Из этой формулы индукцией по [math]\displaystyle{ n }[/math] получается следующее утверждение:

• Определитель Грама системы [math]\displaystyle{ n }[/math] векторов равен квадрату объёма [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерного параллелепипеда, натянутого на эти векторы. Отсюда видно, что в случае трёхмерного пространства определитель Грама трёх векторов равен квадрату их смешанного произведения.

См. также

• Процесс Грама ― Шмидта