Октаэдрическая пирамида
| Октаэдрическая пирамида | |
|---|---|
 Диаграмма Шлегеля: проекция (перспектива) правильной октаэдрической пирамиды в трёхмерное пространство | |
| Тип | Многогранная пирамида[англ.] |
| Символ Шлефли | ( ) ∨ {3,4} ( ) ∨ r{3,3} ( ) ∨ s{2,6} ( ) ∨ [{4} + { }] ( ) ∨ [{ } + { } + { }] |
| Ячеек | 9 |
| Граней | 20 |
| Рёбер | 18 |
| Вершин | 7 |
| Двойственный политоп | Кубическая пирамида |
Октаэдри́ческая пирами́да — четырёхмерный многогранник (многоячейник): многогранная пирамида[англ.], имеющая основанием октаэдр.
Описание
Ограничена 9 трёхмерными ячейками — 8 тетраэдрами и 1 октаэдром. Октаэдрическая ячейка окружена всеми восемью тетраэдрическими; каждая тетраэдрическая ячейка окружена октаэдрической и тремя тетраэдрическими.
Её 20 двумерных граней — треугольники. 8 граней разделяют октаэдрическую и тетраэдрическую ячейки, остальные 12 — две тетраэдрических.
Имеет 18 рёбер. На 12 рёбрах сходятся по три грани и по три ячейки (октаэдрическая и две тетраэдрических), на остальных 6 — по четыре грани и по четыре ячейки (только тетраэдрические).
Имеет 7 вершин. В 6 вершинах сходятся по 5 рёбер, по 8 граней и по 5 ячеек (октаэдрическая и четыре тетраэдрических); в 1 вершине — 6 рёбер, 12 граней и все 8 тетраэдрических ячеек.
Равногранная октаэдрическая пирамида
Если все рёбра октаэдрической пирамиды имеют равную длину [math]\displaystyle{ a }[/math], её грани являются одинаковыми правильными треугольниками. Четырёхмерный гиперобъём и трёхмерная гиперплощадь поверхности такой пирамиды выражаются соответственно как
- [math]\displaystyle{ V_4 = \frac{1}{12}\;a^4 \approx 0{,}0833333a^4, }[/math]
- [math]\displaystyle{ S_3 = \sqrt2\;a^3 \approx 1{,}4142136a^3. }[/math]
Высота пирамиды и радиус описанной гиперсферы (проходящей через все вершины многоячейника) при этом будут равны
- [math]\displaystyle{ H = R = \frac{\sqrt2}{2}\;a \approx 0{,}7071068a, }[/math]
радиус внешней полувписанной гиперсферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —
- [math]\displaystyle{ \rho_1 = \frac{1}{2}\;a = 0{,}5000000a, }[/math]
радиус внутренней полувписанной гиперсферы (касающейся всех граней в их центрах) —
- [math]\displaystyle{ \rho_2 = \frac{\sqrt{6}}{6}\;a \approx 0{,}4082483a, }[/math]
радиус вписанной гиперсферы (касающейся всех ячеек) —
- [math]\displaystyle{ r = \frac{\sqrt2}{6}\;a \approx 0{,}2357023a. }[/math]
Центр вписанной гиперсферы располагается внутри пирамиды, центры описанной и обеих полувписанных гиперсфер — в центре её основания.
Такую пирамиду можно получить из шестнадцатиячейника, разрезав его на две равные части.
Угол между двумя смежными тетраэдрическими ячейками будет равен [math]\displaystyle{ 120^\circ, }[/math] как и в шестнадцатиячейнике. Угол между октаэдрической ячейкой и любой тетраэдрической будет равен [math]\displaystyle{ 60^\circ. }[/math]
В координатах
Равногранную октаэдрическую пирамиду с длиной ребра [math]\displaystyle{ \sqrt2 }[/math] можно разместить в декартовой системе координат так, чтобы её вершины имели координаты
- [math]\displaystyle{ \left(\pm1;\;0;\;0;\;0\right), }[/math]
- [math]\displaystyle{ \left(0;\;\pm1;\;0;\;0\right), }[/math]
- [math]\displaystyle{ \left(0;\;0;\;\pm1;\;0\right), }[/math]
- [math]\displaystyle{ \left(0;\;0;\;0;\;1\right). }[/math]
Начало координат [math]\displaystyle{ (0;\;0;\;0;\;0) }[/math] будет центром описанной и обеих полувписанных гиперсфер многоячейника.
Заполнение пространства
Так как две равногранных октаэдрических пирамиды образуют шестнадцатиячейник, а шестнадцатиячейниками можно замостить четырёхмерное пространство без промежутков и наложений, равногранная октаэдрическая пирамида тоже является заполняющим четырёхмерное пространство многоячейником.
Ссылки
- Richard Klitzing. Octahedral pyramid