Односторонний предел

Односторо́нний преде́л в математическом анализе — предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левосторо́нним преде́лом (или преде́лом сле́ва) и правосторо́нним преде́лом (преде́лом спра́ва).

Определения

Пусть на некотором числовом множестве [math]\displaystyle{ M \subset \R }[/math] задана числовая функция [math]\displaystyle{ f \colon M \to \R }[/math] и число [math]\displaystyle{ a }[/math] — предельная точка области определения [math]\displaystyle{ M }[/math]. Существуют различные определения для односторонних пределов функции [math]\displaystyle{ f \left( x \right) }[/math] в точке [math]\displaystyle{ a }[/math], но все они эквивалентны.

Односторонний предел по Гейне

• Число [math]\displaystyle{ A \in \R }[/math] называется правосторонним пределом (правым пределом, пределом справа) функции [math]\displaystyle{ f \left( x \right) }[/math] в точке [math]\displaystyle{ a }[/math], если для всякой последовательности [math]\displaystyle{ \left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty} }[/math], состоящей из точек, больших числа [math]\displaystyle{ a }[/math], которая сама сходится к числу [math]\displaystyle{ a }[/math], соответствующая последовательность значений функции [math]\displaystyle{ \left\{ f \left( x_n \right) \right\}_{n = 1}^{\infty} }[/math] сходится к числу [math]\displaystyle{ A }[/math].

  [math]\displaystyle{ \lim_{x \to a+} f \left( x \right) = A \Leftrightarrow \forall \left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty} \colon \left( \forall k \in \N \Rightarrow x_k \gt a \right) \land \lim_{n \to \infty} x_n = a \Rightarrow \lim_{n \to \infty} \left\{ f \left( x_n \right) \right\}_{n = 1}^{\infty} = A }[/math]

• Число [math]\displaystyle{ A \in \R }[/math] называется левосторонним пределом (левым пределом, пределом слева) функции [math]\displaystyle{ f \left( x \right) }[/math] в точке [math]\displaystyle{ a }[/math], если для всякой последовательности [math]\displaystyle{ \left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty} }[/math], состоящей из точек, меньших числа [math]\displaystyle{ a }[/math], которая сама сходится к числу [math]\displaystyle{ a }[/math], соответствующая последовательность значений функции [math]\displaystyle{ \left\{ f \left( x_n \right) \right\}_{n = 1}^{\infty} }[/math] сходится к числу [math]\displaystyle{ A }[/math].

  [math]\displaystyle{ \lim_{x \to a-} f \left( x \right) = A \Leftrightarrow \forall \left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty} \colon \left( \forall k \in \N \Rightarrow x_k \lt a \right) \land \lim_{n \to \infty} x_n = a \Rightarrow \lim_{n \to \infty} \left\{ f \left( x_n \right) \right\}_{n = 1}^{\infty} = A }[/math]

Односторонний предел по Коши

• Число [math]\displaystyle{ A \in \R }[/math] называется правосторонним пределом (правым пределом, пределом справа) функции [math]\displaystyle{ f \left( x \right) }[/math] в точке [math]\displaystyle{ a }[/math], если для всякого положительного числа [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] отыщется отвечающее ему положительное число [math]\displaystyle{ \delta }[/math] такое, что для всех точек [math]\displaystyle{ x }[/math] из интервала [math]\displaystyle{ \left( a, a + \delta \right) }[/math] справедливо неравенство [math]\displaystyle{ \left| f \left( x \right) - A \right| \lt \varepsilon }[/math].

  [math]\displaystyle{ \lim_{x \to a+} f \left( x \right) = A \Leftrightarrow \forall \varepsilon \gt 0 ~ \exists \delta = \delta \left( \varepsilon \right) \gt 0 \colon ~ \forall x \in \left( a, a + \delta \right) \Rightarrow \left| f \left( x \right) - A \right| \lt \varepsilon }[/math]

• Число [math]\displaystyle{ A \in \R }[/math] называется левосторонним пределом (левым пределом, пределом слева) функции [math]\displaystyle{ f \left( x \right) }[/math] в точке [math]\displaystyle{ a }[/math], если для всякого положительного числа [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] отыщется отвечающее ему положительное число [math]\displaystyle{ \delta }[/math], такое, что для всех точек [math]\displaystyle{ x }[/math] из интервала [math]\displaystyle{ \left( a - \delta, a \right) }[/math] справедливо неравенство [math]\displaystyle{ \left| f \left( x \right) - A \right| \lt \varepsilon }[/math].

  [math]\displaystyle{ \lim_{x \to a-} f \left( x \right) = A \Leftrightarrow \forall \varepsilon \gt 0 ~ \exists \delta = \delta \left( \varepsilon \right) \gt 0 \colon ~ \forall x \in \left( a - \delta, a \right) \Rightarrow \left| f \left( x \right) - A \right| \lt \varepsilon }[/math]

Односторонний предел как предел вдоль фильтра

Односторонний предел является частным случаем общего понятия предела функции вдоль фильтра. Пусть [math]\displaystyle{ M \subset \mathbb{R}, }[/math] и [math]\displaystyle{ a \in M'. }[/math] Тогда системы множеств

[math]\displaystyle{ \mathfrak{B}_+ = \{ (a, a + \delta) \cap M \mid \delta \gt 0 \} }[/math]

и

[math]\displaystyle{ \mathfrak{B}_- = \{ (a - \delta, a) \cap M \mid \delta \gt 0 \} }[/math]

являются фильтрами. Пределы вдоль этих фильтров совпадают с соответствующими односторонними пределами:

[math]\displaystyle{ \lim\limits_{\mathfrak{B}_+} f(x) \equiv \lim\limits_{x\to a+}f(x); }[/math]

[math]\displaystyle{ \lim\limits_{\mathfrak{B}_-} f(x) \equiv \lim\limits_{x\to a-}f(x). }[/math]

Обозначения

• Правосторонний предел принято обозначать любым из нижеследующих способов:

  [math]\displaystyle{ \lim\limits_{x\to a+}f(x),\ \ \lim\limits_{x\to a+0}f(x),\ \ \lim_{x \downarrow a} f(x),\ \ \lim_{x \searrow a} f(x); }[/math]

• Аналогичным образом для левосторонних пределов приняты обозначения:

  [math]\displaystyle{ \lim\limits_{x\to a-}f(x),\ \ \lim\limits_{x\to a-0}f(x),\ \ \lim_{x \uparrow a} f(x),\ \ \lim_{x \nearrow a} f(x). }[/math]

• При этом используются также сокращённые обозначения:
  • [math]\displaystyle{ f \left( a+ \right) }[/math] и [math]\displaystyle{ f \left( a + 0 \right) }[/math] для правого предела;
  • [math]\displaystyle{ f \left( a- \right) }[/math] и [math]\displaystyle{ f \left( a - 0 \right) }[/math] для левого предела.

• При [math]\displaystyle{ a = 0 }[/math] для сокращения записи вместо [math]\displaystyle{ \lim\limits_{x\to 0+0}f(x) }[/math] и [math]\displaystyle{ \lim\limits_{x\to 0-0}f(x) }[/math] обычно пишут [math]\displaystyle{ \lim\limits_{x\to +0}f(x) }[/math] и [math]\displaystyle{ \lim\limits_{x\to -0}f(x) }[/math] соответственно.

Свойства

• Основные свойства односторонних пределов идентичны свойствам обычных пределов и являются частными случаями свойств пределов вдоль фильтра.
• Для существования (двустороннего) предела функции необходимо и достаточно, чтобы оба односторонних предела существовали и равнялись между собой.

Примеры

Функция из второго примера

• Тождественная числовая функция
  • [math]\displaystyle{ f \left( x \right) = x }[/math]
  • Область определения: [math]\displaystyle{ \R }[/math]
  • Правый предел: [math]\displaystyle{ \forall a \in \R \colon \lim_{x \to a + 0} x = a }[/math]
  • Левый предел: [math]\displaystyle{ \forall a \in \R \colon \lim_{x \to a - 0} x = a }[/math]
  • Правый и левый пределы совпадают, так что имеется обычный предел: [math]\displaystyle{ \forall a \in \R \colon \lim_{x \to a} x = a }[/math]
• Кусочно-заданная функция
  • [math]\displaystyle{ f \left( x \right) = \begin{cases} x^2, & x \lt 3 \\ 11 - \left( x - 3 \right)^2, & x \gt 3 \end{cases} }[/math]
  • Область определения: [math]\displaystyle{ \R \setminus \left\{ 3 \right\} }[/math]
  • Правый предел: [math]\displaystyle{ \lim_{x \to 3 + 0} f \left( x \right) = 11 }[/math]
  • Левый предел: [math]\displaystyle{ \lim_{ x \to 3 - 0} f \left( x \right) = 9 }[/math]
  • Правый и левый пределы различны, так что обычного предела в точке [math]\displaystyle{ x=3 }[/math] не существует
• Функция sgn(x)
  • [math]\displaystyle{ f \left( x \right) = \begin{cases} 0, & x = 0 \\ \frac{x}{\left| x \right|}, & x \neq 0 \end{cases} }[/math]
  • Область определения: [math]\displaystyle{ \R }[/math]
  • Правый предел: [math]\displaystyle{ \lim_{x \to 0 + 0} \sgn \left( x \right) = +1 }[/math]
  • Левый предел: [math]\displaystyle{ \lim_{ x \to 0 - 0} \sgn \left( x \right) = -1 }[/math]
  • Правый и левый пределы различны, так что обычного предела в точке [math]\displaystyle{ x=0 }[/math] не существует

См. также

• Предел функции