Область Фату — Бибербаха

Область Фату — Бибербаха — собственная подобласть [math]\displaystyle{ \mathbb{C}^n }[/math], биголоморфно эквивалентная [math]\displaystyle{ \mathbb{C}^n }[/math]. Открытое множество [math]\displaystyle{ \Omega \subsetneq \mathbb{C}^n }[/math] называется областью Фату — Бибербаха, если существует биективная голоморфная функция [math]\displaystyle{ f:\Omega \rightarrow \mathbb{C}^n }[/math] чья обратная функция [math]\displaystyle{ f^{-1}:\mathbb{C}^n \rightarrow \Omega }[/math] голоморфна. Как известно, обратная функция [math]\displaystyle{ f^{-1} }[/math] не может быть полиномом.

Как следует из теоремы Римана об отображении, в случае [math]\displaystyle{ n=1 }[/math] области Фату — Бибербаха не существует. Пьер Фату и Людвиг Бибербах впервые исследовали такие области для бо́льших размерностей в 1920-х годах. С 1980-х годов области Фату — Бибербаха снова стали предметом математических исследований.

Литература

• Fatou, Pierre: «Sur les fonctions méromorphes de deux variables. Sur certains fonctions uniformes de deux variables.» C.R. Paris 175 (1922)
• Bieberbach, Ludwig: «Beispiel zweier ganzer Funktionen zweier komplexer Variablen, welche eine schlichte volumtreue Abbildung des [math]\displaystyle{ \mathcal{R}_4 }[/math] auf einen Teil seiner selbst vermitteln». Preussische Akademie der Wissenschaften. Sitzungsberichte (1933)
• Rosay, J.-P. and Rudin, W: «Holomorphic maps from [math]\displaystyle{ \mathbb{C}^n }[/math] to [math]\displaystyle{ \mathbb{C}^n }[/math]». Trans. Amer. Math. Soc. 310 (1988) [1]