Нормальная форма Пуанкаре — Дюлака

В теории динамических систем, нормальная форма Пуанкаре — Дюлака — нормальная форма векторного поля или обыкновенного дифференциального уравнения в окрестности своей особой точки.

Формулировка

Резонансы

По определению, резонансом для набора [math]\displaystyle{ (\lambda_1,\;\ldots,\;\lambda_n)\in\Complex^n }[/math] называется равенство

[math]\displaystyle{ \lambda_j=\langle\lambda,\;k\rangle, }[/math]

((*))

где [math]\displaystyle{ k\in\Z^n,\;k_1,\;\ldots,\;k_n\geqslant 0,\;k_1+\ldots+k_n\geqslant 2 }[/math].

Резонансным мономом векторного поля, линейная часть которого приведена к жордановой нормальной форме с собственными значениями [math]\displaystyle{ \lambda_1,\;\ldots,\;\lambda_n }[/math], называется моном

[math]\displaystyle{ z^k\partial/\partial z_j, }[/math]

где [math]\displaystyle{ z^k=z_1^{k_1}\ldots z_n^{k_n} }[/math] и для [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] и [math]\displaystyle{ k }[/math] выполнено (*).

Теорема Пуанкаре — Дюлака

Теорема. Формальное векторное поле с особой точкой в начале координат формально эквивалентно формальному векторному полю, линейная часть которого приведена к жордановой нормальной форме, и все ненулевые мономы резонансны.

Указанный в теореме вид называется резонансной формальной нормальной формой Пуанкаре — Дюлака.

Связанные понятия

Области Пуанкаре и Зигеля

Говорят, что вектор [math]\displaystyle{ \lambda\in\Complex^n }[/math] принадлежит области Пуанкаре, если ноль не лежит в выпуклой оболочке точек [math]\displaystyle{ \lambda_1,\;\ldots,\;\lambda_n\in\Complex\sim\R^2 }[/math]. В противном случае говорят, что он принадлежит области Зигеля. Наконец, в случае, если ноль принадлежит выпуклой оболочке вместе с некоторой своей окрестностью, говорят, что вектор [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] принадлежит строгой области Зигеля.

В случае вектора собственных значений, принадлежащего области Пуанкаре, резонансная нормальная форма Пуанкаре — Дюлака на самом деле полиномиальна. В случае таких собственных значений, можно утверждать, что векторное поле аналитически эквивалентно своей резонансной формальной нормальной форме.

Теорема Левелля

Теорема Левелля, описывающая резонансную нормальную форму фуксовой особой точки

[math]\displaystyle{ \dot{z}=\frac{A(t)}{t}z }[/math]

может рассматриваться как линейный по [math]\displaystyle{ z }[/math] вариант нормальной формы Пуанкаре — Дюлака для расширенной системы

[math]\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}\dot{z}=A(t)z, \\ \dot{t}=t.\end{array}\right. }[/math]

Литература

• Арнольд В. И., Ильяшенко Ю. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Динамические системы — 1 // Итоги науки и техн. — Сер. «Соврем. пробл. мат. Фундам. направления». — №1. — М.: ВИНИТИ, 1985. — с. 7—140.
• Ilyashenko Yu., Yakovenko S. Lectures on Analytic Differential Equations.