Нётеров модуль

Нётеров мо́дуль — это модуль, в котором выполняется условие обрыва возрастающих цепей для его подмодулей, упорядоченных по отношению включения.

Исторически, Гильберт был первым математиком, исследовавшим свойства конечнопорождённости подмодулей. В частности, он доказал теорему Гильберта о базисе, согласно которой любой идеал в кольце многочленов от нескольких переменных является конечнопорождённым (это свойство эквивалентно нётеровости). Однако, свойство нётеровости было названо в честь Эмми Нётер, которая первой осознала степень его важности.

Эквивалентные определения и свойства

Существует несколько эквивалентных определений нётерова модуля:

Любая последовательность подмодулей вида [math]\displaystyle{ M_1\subsetneq M_2\subsetneq M_3\subsetneq \ldots \qquad (1) }[/math] стабилизируется, то есть начиная с некоторого [math]\displaystyle{ n, \; M_n=M_{n+1}=\ldots . }[/math]
В любом непустом множестве подмодулей M существует максимальный элемент. Данное условие эквивалентно первому для любого частично упорядоченного множества (доказательство использует аксиому выбора).
Каждый подмодуль модуля M является конечнопорождённым.

Последнее определение особенно полезно, и доказательство его эквивалентности исходному определению элементарно:

Если модуль удовлетворяет свойству из последнего определения, то он удовлетворяет и свойству из первого. В самом деле, если любой подмодуль конечно порожден, то взяв модуль, являющийся объединением всех подмодулей цепи (1) имеем, что он порожден, скажем, элементами [math]\displaystyle{ x_1,x_2, \ldots x_n }[/math]. Тогда существует некоторый элемент цепочки [math]\displaystyle{ M_k }[/math], содержащий эти x_i и поэтому равный объединению всех M_i. Отсюда [math]\displaystyle{ M_k=M_{k+1}=M_{k+2}=\ldots }[/math]
Обратно, если М над кольцом A удовлетворяет свойству из первого определения (эквивалентно, из второго определения) и N — его подмодуль, то во множестве всех конечнопорождённых подмодулей модуля N существует максимальный подмодуль [math]\displaystyle{ N'\subset N }[/math]. Если [math]\displaystyle{ N'\neq N, }[/math] то взяв элемент [math]\displaystyle{ x\in N/N' }[/math] и построив модуль [math]\displaystyle{ N+Ax }[/math] (или [math]\displaystyle{ N+xA }[/math] в некоммутативном случае для правого модуля) мы построим больший конечнопорождённый модуль против предположения. Следовательно, N конечно порождён.

Пусть [math]\displaystyle{ M }[/math] — некоторый модуль и [math]\displaystyle{ N }[/math] — его подмодуль. [math]\displaystyle{ M }[/math] является нётеровым тогда и только тогда, когда [math]\displaystyle{ N }[/math] и [math]\displaystyle{ M/N }[/math] являются нётеровыми.

Примеры

Целые числа, рассматриваемые как модуль на кольцом целых чисел, являются нётеровым модулем.
Пусть [math]\displaystyle{ R=M_n(K) }[/math] — полное кольцо матриц над произвольным полем [math]\displaystyle{ K }[/math] и [math]\displaystyle{ M }[/math] — множество векторов-столбцов над этим полем, то [math]\displaystyle{ M }[/math] можно сделать модулем над [math]\displaystyle{ R, }[/math] задав умножение элемента модуля на элемент кольца как умножение столбца на матрицу. Тогда [math]\displaystyle{ M }[/math] является нётеровым модулем.
Каждый модуль, являющийся конечным множеством, нётеров.
Каждый конечнопорождённый правый модуль над правым нётеровым кольцом нётеров (см. определение ниже).

Связь с другими структурами

Ассоциативное кольцо с единицей называется нётеровым, если оно является нётеровым модулем над самим собой, то есть удовлетворяет условию обрыва возрастающих цепей для идеалов. В некоммутативном случае выделяют левые нётеровы и правые нётеровы кольца, если же кольцо является нётеровым слева и нётеровым справа, его называют просто нётеровым.

Условие нётеровости может быть определено также для бимодулей: бимодуль называется нётеровым, если он удовлетворяет условию обрыва возрастающих цепей для своих подбимодулей. Может случиться, что бимодуль является нётеровым, тогда как структуры левого и правого модуля на нём не являются нётеровыми.

См. также

Артинов модуль

Литература

Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — М.:Мир, 1972
Зарисский О., Самюэль Р. Коммутативная алгебра. — М.:ИЛ, 1963
Ленг С. Алгебра. — М.:Мир, 1968