Артинов модуль

Артинов модуль — модуль над кольцом, в котором выполняется следующее условие обрыва убывающих цепей. Символически, модуль [math]\displaystyle{ M }[/math] артинов, если всякая последовательность его подмодулей:

[math]\displaystyle{ M_1\supset M_2\supset\ldots\supset M_i\supset\ldots }[/math]

стабилизируется, то есть начиная с некоторого [math]\displaystyle{ n }[/math] выполнено:

[math]\displaystyle{ M_n = M_{n+1} = \ldots }[/math].

Это утверждение равносильно тому, что в любом непустом множестве подмодулей [math]\displaystyle{ M }[/math] существует минимальный элемент.

Если [math]\displaystyle{ M }[/math] — артинов, то любой его подмодуль и любой его фактормодуль артиновы. Обратно, если подмодуль [math]\displaystyle{ N\subset M }[/math] и фактормодуль [math]\displaystyle{ M/N }[/math] артиновы, то и сам модуль [math]\displaystyle{ M }[/math] артинов.

Названы в честь Эмиля Артина, наряду с подобными общеалгебраическими структурами с условиями обрыва убывающих цепей (артинова группа, артиново кольцо), и двойственными «нётеровым» структурам с условием обрыва возрастающих цепей (нётеров модуль, нётерова группа, нётерово кольцо). В частности, ассоциативное кольцо [math]\displaystyle{ A }[/math] с единичным элементом называется артиновым, если оно является артиновым [math]\displaystyle{ A }[/math]-модулем (удовлетворяет условию обрыва убывающих цепей для идеалов, для некоммутативного случая соответственно левых или правых).

Литература

• Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — М.: Мир, 1972.
• Зарисский О., Самюэль Р. Коммутативная алгебра. — М.: ИЛ, 1963.
• Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1968.