Устойчивость (динамические системы)
Устойчивость — свойство решения дифференциального уравнения притягивать к себе другие решения при условии достаточной близости их начальных данных. В зависимости от характера притяжения выделяются различные виды устойчивости. Устойчивость является предметом изучения таких дисциплин, как теория устойчивости и теория динамических систем.
Определения
Пусть [math]\displaystyle{ \Omega }[/math] — область фазового пространства [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^n }[/math], [math]\displaystyle{ I = [\tau; \infty) }[/math], где [math]\displaystyle{ \tau \in \mathbb{R} }[/math]. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений следующего вида:
| [math]\displaystyle{ \dot x = f(t, x), }[/math] | (1) |
где [math]\displaystyle{ x \in \mathbb{R}^n }[/math], функция [math]\displaystyle{ f }[/math] определена, непрерывна и удовлетворяет условию Липшица локально по [math]\displaystyle{ x }[/math] в области [math]\displaystyle{ I \times \Omega }[/math].
При этих условиях для любых [math]\displaystyle{ (t_0, x_0) \in I \times \Omega }[/math] существует единственное решение [math]\displaystyle{ x(t, t_0, x_0) }[/math] системы (1), удовлетворяющее начальным условиям: [math]\displaystyle{ x(t_0, t_0, x_0) = x_0 }[/math][1]. Выделим некоторое решение [math]\displaystyle{ \varphi(t) }[/math], определённое на интервале [math]\displaystyle{ J^+ = [t_0; \infty) }[/math], таком, что [math]\displaystyle{ J^+ \subset I }[/math] и будем называть его невозмущённым решением.
Устойчивость по Ляпунову
Невозмущённое решение [math]\displaystyle{ \varphi(t) }[/math] системы (1) называется устойчивым по Ляпунову, если для любых [math]\displaystyle{ t_0 \gt \tau }[/math] и [math]\displaystyle{ \varepsilon \gt 0 }[/math] существует [math]\displaystyle{ \delta \gt 0 }[/math], зависящее только от [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] и [math]\displaystyle{ t_0 }[/math] и не зависящее от [math]\displaystyle{ t }[/math], такое, что для всякого [math]\displaystyle{ x_0 }[/math], для которого [math]\displaystyle{ \|x_0 - \varphi(t_0)\| \lt \delta }[/math], решение [math]\displaystyle{ x }[/math] системы (1) с начальными условиями [math]\displaystyle{ x(t_0) = x_0 }[/math] продолжается на всю полуось [math]\displaystyle{ J^+ }[/math] и для любого [math]\displaystyle{ t \in J^+ }[/math] удовлетворяет неравенству [math]\displaystyle{ \|x(t) - \varphi(t)\| \lt \varepsilon }[/math][1].
Символически это записывается так:
- [math]\displaystyle{ \forall \varepsilon \gt 0, \forall t_0 \in I \ \exists \delta(t_0, \varepsilon) \gt 0: \ \forall x_0: \|x_0 - \varphi(t_0)\| \lt \delta \Rightarrow \forall t \in J^+: \|x(t, t_0, x_0) - \varphi(t)\| \lt \varepsilon. }[/math]
Невозмущённое решение [math]\displaystyle{ \varphi(t) }[/math] системы (1) называется неустойчивым, если оно не является устойчивым по Ляпунову, то есть
- [math]\displaystyle{ \exists \varepsilon \gt 0, \exists t_0 \in I: \forall \delta \gt 0 \ \exists x_0 : \|x_0 - \varphi(t_0)\| \lt \delta, \exists t_* \gt t_0: \|x(t_*, t_0, x_0) - \varphi(t_*)\| = \varepsilon. }[/math]
Равномерная устойчивость
Невозмущённое решение [math]\displaystyle{ \varphi(t) }[/math] системы (1) называется равномерно устойчивым по Ляпунову, если [math]\displaystyle{ \delta }[/math] из предыдущего определения зависит только от [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math]:
- [math]\displaystyle{ \forall \varepsilon \gt 0 \ \exists \delta(\varepsilon) \gt 0: \ \forall x_0, \forall t_0 \in I: \|x_0 - \varphi(t_0)\| \lt \delta \Rightarrow \forall t \in J^+: \|x(t, t_0, x_0) - \varphi(t)\| \lt \varepsilon. }[/math]
Асимптотическая устойчивость
Невозмущённое решение [math]\displaystyle{ \varphi(t) }[/math] системы (1) называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво по Ляпунову и является притягивающим, то есть выполняется условие [math]\displaystyle{ \lim_{t \to \infty} \|x(t, t_0, x_0) - \varphi(t)\| = 0 }[/math] для любого решения [math]\displaystyle{ x(t) }[/math] с начальными данными [math]\displaystyle{ x_0 }[/math], для которых выполняется неравенство [math]\displaystyle{ ||x_0 - \varphi(t_0)|| \lt \delta_0 }[/math] при некотором [math]\displaystyle{ \delta_0 }[/math].
Существуют определённые разновидности асимптотической устойчивости[2]. Невозмущённое решение [math]\displaystyle{ \varphi(t) }[/math] системы (1) называется:
- эквиасимптотически устойчивым, если оно устойчивое и эквипритягивающее ([math]\displaystyle{ x(t) }[/math] не зависит от [math]\displaystyle{ x_0 }[/math]).
- равномерно асимптотически устойчивым, если оно равномерно устойчивое и равномерно притягивающее ([math]\displaystyle{ x(t) }[/math] не зависит от [math]\displaystyle{ t_0 }[/math]и [math]\displaystyle{ x_0 }[/math]).
- асимптотически устойчивым в целом, если оно устойчивое и глобальнопритягивающее (отсутствует ограничение на [math]\displaystyle{ x_0 }[/math]).
- равномерно асимптотически устойчивым в целом, если оно равномерно устойчивое и равномерно и глобальнопритягивающее.
Замечание
В качестве невозмущённого решения системы можно рассматривать тривиальное решение [math]\displaystyle{ x(t) \equiv 0 }[/math], что делает условия устойчивости более простыми. Для этого необходимо ввести сдвигающую замену [math]\displaystyle{ y = x - \varphi }[/math] и рассматривать систему
- [math]\displaystyle{ \dot{y} = g(t,y), }[/math]
где [math]\displaystyle{ g(t,y) = f(t,y+\varphi(t)) - f(t,\varphi(t)). }[/math]
Примечания
- ↑ 1,0 1,1 Афанасьев и др., 2003, с. 9.
- ↑ Руш и др., 1980, с. 19.
Литература
- Беллман, Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. — М.: Издательство иностранной литературы, 1954.
- Четаев, Н. Г. Устойчивость движения. — 4-е изд., испр.. — М.: Наука, 1990. — 176 с. — ISBN 5-02-014018-X.
- Красовский, Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. — М.: Физматгиз, 1959.
- Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. — 2-е изд., испр.. — М.: Наука, 1966.
- Демидович, Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. — М.: Наука, 1967. — 472 с.
- Афанасьев В. Н., Колмановский В. Б., Носов В. Р. Математическая теория конструирования систем управления. — 3-е изд., испр. и доп.. — М.: Высшая школа, 2003. — 614 с. — ISBN 5-06-004162-X.
- Филиппов, А. Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений. — Изд. 2-е. — Эдиториал УРСС, 2007. — 240 с. — ISBN 978-5-484-00786-8.
- Руш, Н., Абетс, П., Лалуа, М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. — М.: Мир, 1980.