Метод Самокиша

Метод Самокиша (формула Стенжера) — метод численного интегрирования интегралов с особенностями.

Рассмотрим определённый интеграл с особенностями на концах промежутка [math]\displaystyle{ [-1, 1] }[/math]

Пусть требуется вычислить [math]\displaystyle{ I=\int\limits_{-1}^1 f(x)\,dx }[/math] — оба конца особые. Метод заключается в отбрасывании концов на бесконечность, заменой переменных:

[math]\displaystyle{ x = \operatorname{th}\left(\frac{t}{2}\right)=\frac{e^{\frac{t}{2}}-e^{-\frac{t}{2}}}{e^{\frac{t}{2}}+e^{-\frac{t}{2}}}=\frac{e^t-1}{e^t+1} }[/math]

[math]\displaystyle{ dx=\frac{1}{2}\frac{1}{\operatorname{ch}^2\left(\frac{t}{2}\right)}dt=\frac{2e^t}{(e^t+1)^2}dt }[/math], тогда интеграл принимает следующий вид:

[math]\displaystyle{ I=\int\limits_{-1}^1 f(x)\,dx=2\int\limits_{-\infty}^{\infty}f\left(\frac{e^t-1}{e^t+1}\right)\frac{e^t}{(e^t+1)^2}\,dt=2h\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}f\left(\frac{e^{nh}-1}{e^{nh}+1}\right)\frac{e^{nh}}{(e^{nh}+1)^2} }[/math]

Интеграл берется по формуле трапеций. Пусть [math]\displaystyle{ q = e^h }[/math],где [math]\displaystyle{ h = \frac{b-a}{m} }[/math], m — количество промежутков деления, тогда :

[math]\displaystyle{ I=\int\limits_{-1}^1 f(x)\,dx = 2h\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}f\left(\frac{q^{n}-1}{q^{n}+1}\right)\frac{q^{n}}{(q^{n}+1)^2} }[/math]

Суммирование заканчивается, когда остаток ряда меньше заданного [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math], которое по Самокишу равно [math]\displaystyle{ e^{\pi q} }[/math].

Библиография

F. Stenger. Integration formulae based on the trapezoidal formula. — J. Inst.: Math. Appl., 1973. — P. 103-114.
S. Beighton, B. Noble. An Error Estimate for Stanger’s Quadrature Formula. — Mathematics of Computation, 1982. — Т. 38. — С. 539-545.
Самокиш Б. А. Квадратурные формулы для интегралов от функций, аналитических внутри отрезка. — Ленинград: Вест., 1990. — Т. 1. — С. 42-49.
Марданов А. А. О вычислении сингулярных интегралов с плотностью, аналитической внутри отрезка.. — Труды ФОРА, 2003. — Т. 8. — С. 99-110.