Теорема Хелли
Теорема Хелли — классический результат комбинаторной геометрии и выпуклого анализа. Теорема даёт условие на семейство выпуклых множеств, гарантирующее то, что это семейство имеет непустое пересечение.
Формулировки
Конечные семейства
Предположим, что
- [math]\displaystyle{ X_1,X_2,\dots,X_n }[/math]
есть конечное семейство выпуклых подмножеств евклидова пространства [math]\displaystyle{ \R^d }[/math], такое что пересечение любых [math]\displaystyle{ d+1 }[/math] из них непусто.
Тогда пересечение всех подмножеств из этого семейства непусто, то есть
- [math]\displaystyle{ \bigcap_{j=1}^n X_j\ne\emptyset }[/math].[1]
Бесконечные семейства
Для бесконечных семейств необходимо дополнительно потребовать компактность:
Пусть [math]\displaystyle{ \{X_\alpha\} }[/math] есть произвольное семейство выпуклых компактных подмножеств [math]\displaystyle{ \mathbb R^d }[/math], такое что пересечение любых [math]\displaystyle{ d+1 }[/math] из них непусто. Тогда пересечение всех подмножеств из этого семейства непусто.
Следствия
- Теорема Юнга: Пусть [math]\displaystyle{ S }[/math] есть конечное множество точек в [math]\displaystyle{ d }[/math]-мерном евклидовом пространстве [math]\displaystyle{ \R^d }[/math] такое, что любые [math]\displaystyle{ d+1 }[/math] точек из [math]\displaystyle{ S }[/math] можно накрыть единичным шаром. Тогда и всё множество [math]\displaystyle{ S }[/math] можно накрыть единичным шаром.
- Радиус Юнга: Пусть [math]\displaystyle{ X }[/math] — множество точек в [math]\displaystyle{ d }[/math]-мерном евклидовом пространстве [math]\displaystyle{ \R^{d} }[/math], с диаметром [math]\displaystyle{ \mathrm{diam}\, X \leqslant 2 }[/math]. Тогда существует [math]\displaystyle{ d }[/math]-мерный замкнутый шар [math]\displaystyle{ B^{d}(r) }[/math] радиуса [math]\displaystyle{ r=\sqrt{2d/(d+1)} }[/math], такой что [math]\displaystyle{ X \subset B^{d}(r) }[/math]. Если множество [math]\displaystyle{ X }[/math] не принадлежит никакому меньшему шару, то [math]\displaystyle{ X }[/math] содержит вершины [math]\displaystyle{ d }[/math]-симплекса с длиной каждого ребра [math]\displaystyle{ 2 }[/math].[2]
- Теорема Киршбрауна
Вариации и обобщения
- Пусть [math]\displaystyle{ H }[/math] — гильбертово пространство (не обязательно сепарабельное) и [math]\displaystyle{ X_\alpha }[/math] — семейство замкнутых ограниченных выпуклых подмножеств [math]\displaystyle{ H }[/math]. Если пересечение произвольного конечного подсемейства [math]\displaystyle{ X_\alpha }[/math] не пусто то [math]\displaystyle{ \cap_\alpha X_\alpha }[/math] также непусто.
История
Теорема была доказана Эдуардом Хелли в 1913, о чём он рассказал Радону, опубликовал он её только в 1923[3], уже после публикаций Радона[4] и Кёнига[5].
См. также
Примечания
- ↑ Шикин Е. В. Линейные пространства и отображения. - М., МГУ, 1987. - c. 177
- ↑ Шикин Е. В. Линейные пространства и отображения. — М., МГУ, 1987. — с. 293
- ↑ E. Helly Über Mengen konvexer Körper mit gemeinschaftlichen Punkten (недоступная ссылка), — Jber. Deutsch. Math. Vereinig. 32 (1923), 175—176.
- ↑ J. Radon Mengen konvexer Körper, die einen gemeinsamen Punkt enthalten (недоступная ссылка), — Math. Ann. 83 (1921), 113—115.
- ↑ D. König Über konvexe Körper, — Math. Z. 14 (1922), 208—220.
Литература
- Данцер Л., Грюнбаум Б., Кли В. Теорема Хелли и ее применения. — М.: Мир, 1968. — 159 с.