Неравенство Шура

В математике неравенство Шура, названное в честь математика Исая Шура, утверждает, что для произвольных неотрицательных действительных чисел [math]\displaystyle{ x, y, z }[/math] и [math]\displaystyle{ t }[/math] выполняется неравенство:

[math]\displaystyle{ x^t(x - y)(x - z) + y^t(y - x)(y - z) + z^t(z - x)(z - y) \geqslant 0 }[/math]

причём равенство достигается тогда и только тогда, когда [math]\displaystyle{ x=y=z }[/math] или два числа среди них равны между собой, а третье равно нулю. Если [math]\displaystyle{ t }[/math] будет натуральным и чётным, то неравенство будет выполняться для всех действительных [math]\displaystyle{ x,y,z }[/math].

Самым распространённым и известным применением неравенства является частный случай, когда [math]\displaystyle{ t=1 }[/math]:

[math]\displaystyle{ x^3 + y^3 + z^3 + 3xyz \geqslant x^2y + x^2z + y^2x + y^2z + z^2x +z^2y }[/math]

Доказательство

Поскольку неравенство симметрично относительно переменных [math]\displaystyle{ x, y, z }[/math], то без ограничения общности можно считать, что [math]\displaystyle{ x \geqslant y\geqslant z }[/math]. Тогда неравенство Шура становится равносильным следующему неравенству:

[math]\displaystyle{ (x-y)[x^t(x-z) - y^t(y-z)] + z^t(z-x)(z-y) \geqslant 0 }[/math]

которое выполняется потому, что [math]\displaystyle{ x^t(x-z) \geqslant x^t(y-z) \geqslant y^t(y-z) }[/math]. Также из этого рассуждения видно, что равенство возможно только при [math]\displaystyle{ x = y = z }[/math] или [math]\displaystyle{ x = y }[/math] и [math]\displaystyle{ z = 0 }[/math]. Учитывая симметричные данному варианты можно получить, что в исходном неравенстве равенство достигается тогда и только тогда, когда [math]\displaystyle{ x = y = z }[/math] или двое из чисел [math]\displaystyle{ x, y, z }[/math] равны между собой, а третье равно нулю, что и требовалось доказать.

Обобщения

Обобщением неравенства Шура является следующее неравенство: для всех действительных [math]\displaystyle{ x, y, z }[/math] и неотрицательных действительных [math]\displaystyle{ a, b, c }[/math]:

[math]\displaystyle{ a(x-y)(x-z) + b(y-x)(y-z) + c(z-x)(z-y) \geqslant 0 }[/math]

если выполняется хотя бы одно из следующих условий:

• [math]\displaystyle{ x \geqslant y\geqslant z }[/math] и [math]\displaystyle{ a \geqslant b }[/math]
• [math]\displaystyle{ x \geqslant y\geqslant z }[/math] и [math]\displaystyle{ c \geqslant b }[/math]
• [math]\displaystyle{ x \geqslant y\geqslant z }[/math] и [math]\displaystyle{ a + c \geqslant b }[/math]
• [math]\displaystyle{ x \geqslant y \geqslant z \geqslant 0 }[/math] и [math]\displaystyle{ ax \geqslant by }[/math]
• [math]\displaystyle{ x \geqslant y \geqslant z \geqslant 0 }[/math] и [math]\displaystyle{ cz \geqslant by }[/math]
• [math]\displaystyle{ x \geqslant y \geqslant z \geqslant 0 }[/math] и [math]\displaystyle{ ax + cz \geqslant by }[/math]
• [math]\displaystyle{ a, b, c }[/math] - стороны некоторого треугольника (возможно, вырожденного)
• [math]\displaystyle{ a, b, c }[/math] - квадраты сторон некоторого треугольника (возможно, вырожденного)
• [math]\displaystyle{ ax, by, cz }[/math] - стороны некоторого треугольника (возможно, вырожденного)
• [math]\displaystyle{ ax, by, cz }[/math] - квадраты сторон некоторого треугольника (возможно, вырожденного)
• Существует выпуклая или монотонная функция [math]\displaystyle{ f : \mathbb{I} \longrightarrow \mathbb{R^+} }[/math] , где [math]\displaystyle{ \mathbb{I} }[/math]- это интервал, который содержит числа [math]\displaystyle{ x }[/math], [math]\displaystyle{ y }[/math], [math]\displaystyle{ z }[/math], причём [math]\displaystyle{ a = f(x) }[/math], [math]\displaystyle{ b = f(y) }[/math], [math]\displaystyle{ c = f(z) }[/math]

Другое возможное обобщение утверждает, что если неотрицательные действительные числа [math]\displaystyle{ x\geq y\geq z\geq v }[/math] и положительное действительное число [math]\displaystyle{ t }[/math] таковы, что [math]\displaystyle{ x + v \geq y + z }[/math], то:

[math]\displaystyle{ x^t (x-y)(x-z)(x-v) + y^t (y-x)(y-z)(y-v) + z^t (z-x)(z-y)(z-v) + v^t (v-x)(v-y)(v-z) \ge 0. }[/math]