Неравенство Адамара

Нера́венство Адама́ра (также теорема Адамара об определителях), определяет верхнюю границу объёма тела в [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерном евклидовом пространстве, заданного [math]\displaystyle{ n }[/math] векторами. Названо в честь Жака Адамара.

Формулировка

Пусть [math]\displaystyle{ v_i\in\R^n,\;i=1,\;2,\;\ldots,\;n }[/math], а [math]\displaystyle{ M }[/math] — матрица, столбцами которой являются векторы [math]\displaystyle{ v_i:i=1,\;2,\;\ldots,\;n }[/math]. Тогда

[math]\displaystyle{ |\det(M)|\leqslant\prod_{i=1}^n{||v_i||}_2, }[/math]

где [math]\displaystyle{ {||\cdot||}_2 }[/math] — евклидова норма вектора.

Другими словами, с точки зрения геометрии объём [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерного тела максимален, когда задающие его векторы взаимно перпендикулярны.

Лемма

Докажем сначала небольшую лемму:

Если матрица [math]\displaystyle{ A }[/math] размерности [math]\displaystyle{ n\times n }[/math] положительно определённая, то

[math]\displaystyle{ |A|\leqslant a_{11}a_{22}\ldots a_{nn}. }[/math]

Доказательство леммы

Определитель [math]\displaystyle{ |A| }[/math] можно представить в виде

[math]\displaystyle{ |A|=a_{11}\begin{vmatrix}a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ a_{32} & \ldots & a_{3n} \\ \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{n2} & \ldots & a_{nn}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}0 & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}\end{vmatrix}. }[/math]

Так как [math]\displaystyle{ A }[/math] положительно определённая, то и матрица, которая является первым слагаемым в сумме, тоже положительно определённая, следовательно, квадратичная форма по переменным [math]\displaystyle{ a_{12},\;a_{13},\;\ldots,\;a_{1n} }[/math], каковой является второе слагаемое, не является положительно определенной. В силу этого

[math]\displaystyle{ |A|\leqslant a_{11}\begin{vmatrix}a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ a_{32} & \ldots & a_{3n} \\ \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{n2} & \ldots & a_{nn}\end{vmatrix}. }[/math]

Отсюда, применяя индукцию, получаем требуемый результат.

Доказательство неравенства Адамара

Для доказательства неравенства Адамара нужно применить доказанную лемму к положительно определённой квадратной матрице вида [math]\displaystyle{ A=MM^T }[/math].

Матрицы, определители которых достигают границы Адамара

В комбинаторикe матрицы с элементами из [math]\displaystyle{ \{+1,\;-1\} }[/math], для которых в неравенстве Адамара выполняется равенство, называются матрицами Адамара. Таким образом, определитель таких матриц по модулю равен [math]\displaystyle{ n^{\frac{n}{2}} }[/math]. Из таких матриц получают коды Адамара.

См. также

• Граница Плоткина

Литература

• R. Bellman, Introduction to Matrix Analysis, SIAM, Philadelphia, PA, USA, Ch. 8, § 7, 1997.
• F. J. MacWilliams and N. J. A. Sloane, The Theory of Error-Correcting Codes, Amsterdam, Netherlands, North-Holland, § 2.3, 1977.
• E. F. Beckenbach and R. Bellman, Inequalities, Berlin-Göttingen-Heidelberg, Germany, Ch. 2, § 11, 1961.