Невырожденный полупроводник

Невы́рожденный полупроводни́к — полупроводник, уровень Ферми в котором расположен в запрещенной зоне на расстоянии по энергии большем [math]\displaystyle{ kT }[/math] от её границ ([math]\displaystyle{ k }[/math] — постоянная Больцмана, [math]\displaystyle{ T }[/math] — абсолютная температура), вследствие чего носители заряда в этом полупроводнике подчиняются статистике Максвелла-Больцмана. Если уровень Ферми лежит внутри разрешённых зон (внутри зоны проводимости в случае полупроводника n-типа или валентной зоны в случае p-типа), то такой полупроводник называется вырожденным.

Распределение носителей в зонах

Общий случай

Поскольку электроны обладают полуцелым спином, они подчиняются статистике Ферми-Дирака

[math]\displaystyle{ f(E)=\frac{1}{1+\exp{\frac{E-F}{kT}}} }[/math],

[math]\displaystyle{ f(E) }[/math] — вероятность того, что квантовое состояние с энергией [math]\displaystyle{ E }[/math] заполнено электроном; [math]\displaystyle{ F }[/math] — электрохимический потенциал, или уровень Ферми, который в общем случае зависит от температуры. Уровень Ферми можно также определить как энергию квантового состояния, вероятность заполнения которого при данных условиях равна 1/2.

При [math]\displaystyle{ T = 0\quad }[/math][math]\displaystyle{ f(E) }[/math] имеет вид разрывной функции:

• для [math]\displaystyle{ E \lt F\quad }[/math] [math]\displaystyle{ f(E) = 1 }[/math], а значит, все квантовые состояния с такими энергиями заполнены электронами;

• для [math]\displaystyle{ E \gt F\quad }[/math] [math]\displaystyle{ f(E)=0 }[/math], поэтому соответствующие квантовые состояния свободны.

При [math]\displaystyle{ T\gt 0\quad }[/math] функция Ферми изображается непрерывной кривой и в узкой области энергий порядка нескольких [math]\displaystyle{ kT }[/math] в окрестности точки [math]\displaystyle{ E = F }[/math] быстро изменяется от 1 до 0. Размытие функции Ферми тем больше, чем выше температура.

Случай невырожденного полупроводника

Вычисление статистических величин значительно упрощается, если [math]\displaystyle{ F }[/math] лежит в запрещённой зоне энергий и удален от края зоны проводимости [math]\displaystyle{ E_c }[/math] хотя бы на несколько [math]\displaystyle{ kT }[/math]. Тогда в формуле Ферми-Дирака можно считать [math]\displaystyle{ \exp[(E-F)/kT]\gg1 }[/math] и выражение упрощается до

[math]\displaystyle{ f(E)=\exp{\frac{F-E}{kT}} }[/math].

В этом случае электронный газ не вырожден. Если последнее выражение домножить на плотность состояний [math]\displaystyle{ \rho\sim \sqrt{E-E_c} }[/math], где [math]\displaystyle{ E_c }[/math] — дно зоны проводимости, и пронормировать произведение на участке [math]\displaystyle{ 0\lt E\lt \infty }[/math], получится распределение Максвелла — Больцмана по энергиям, известное из классической статистики.

Аналогично в полупроводнике p-типа для отсутствия вырождения дырочного газа необходимо, чтобы уровень Ферми [math]\displaystyle{ F }[/math] тоже лежал внутри запрещенной зоны и был расположен выше энергии [math]\displaystyle{ E_v }[/math] хотя бы на несколько [math]\displaystyle{ kT }[/math].

Противоположный случай, когда уровень Ферми расположен внутри зоны проводимости или внутри валентной зоны, есть случай вырожденного электронного или, соответственно, дырочного газа. В этом случае необходимо пользоваться распределением Ферми — Дирака.

Концентрация носителей в зонах

Общий случай

Концентрация электронов в зоне проводимости описывается выражением

[math]\displaystyle{ n=\int\limits_{E_c}^{\infty} f(E)\rho_c(E) dE=N_c \Phi_{1/2} (\xi) }[/math],

[math]\displaystyle{ \xi = \frac{F-E_c}{kT} }[/math] — химический потенциал для электронов (точнее, его безразмерная величина),

[math]\displaystyle{ \rho_c(E)= \frac{1}{V} \frac{dN}{dE} }[/math] — плотность электронных состояний в зоне проводимости — число состояний на единичный интервал энергий в единице объёма,

[math]\displaystyle{ N_{c} = 2\left( \frac{m_{c}k T}{2\pi \hbar^2}\right)^{3/2} }[/math] — эффективная плотность состояний в зоне проводимости.

Значение интеграла [math]\displaystyle{ \Phi_{1/2} (\xi) }[/math] зависит только от химического потенциала и температуры. Этот интеграл известен как интеграл Ферми — Дирака с индексом 1/2:

[math]\displaystyle{ \Phi_{1/2} (\xi)= \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int\limits_{0}^{\infty}\frac{x^{1/2}}{1+\exp{(x-\xi)}} }[/math].

Расчет концентрации дырок в валентной зоне проводится аналогично, отличия от предыдущего случая лишь в том, что используется плотность состояний в валентной зоне [math]\displaystyle{ \rho_v(E) }[/math] и учитывается не число заполненных, а число незанятых состояний [math]\displaystyle{ f_p=(1-f) }[/math]:

[math]\displaystyle{ p=\int\limits_{-\infty}^{E_v} f_p(E)\rho_v(E) dE=N_v \Phi_{1/2} (\eta) }[/math],

[math]\displaystyle{ N_v= 2\left( \frac{m_{v}k T}{2\pi \hbar^2}\right)^{3/2} }[/math] — эффективная плотность состояний в валентной зоне,

[math]\displaystyle{ \eta= \frac{E_v-F}{kT} }[/math] — химический потенциал для дырок — безразмерный параметр, характеризующий положение уровня Ферми относительно края валентной зоны.

Случай невырожденного полупроводника

Для невырожденных полупроводников существен только хвост распределения Ферми, который может быть аппроксимирован распределением Максвелла — Больцмана. В этом случае интеграл Ферми-Дирака принимает вид [math]\displaystyle{ \Phi_{1/2} (\xi)=\exp{\xi} }[/math], и концентрации носителей в зонах определяются выражениями:

[math]\displaystyle{ n=N_c\exp{\frac{F-E_c}{kT}} }[/math],

[math]\displaystyle{ p=N_v\exp{\frac{E_v-F}{kT}} }[/math].

Множитель перед экспонентой дает вероятность заполнения электронами квантового состояния с энергией [math]\displaystyle{ E_c }[/math] (либо с энергией [math]\displaystyle{ E_v }[/math] в случае дырок). Следовательно, для невырожденного полупроводника концентрация подвижных электронов получается такой же, как если бы, вместо непрерывного распределения состояний в зоне, в каждой единице объёма было [math]\displaystyle{ N_c }[/math] состояний с одинаковой энергией [math]\displaystyle{ E_c }[/math].

Рассуждая аналогично, при подсчете концентрации дырок валентную зону можно заменить совокупностью состояний с одинаковой энергией [math]\displaystyle{ E_v }[/math] число которых в каждой единице объёма есть [math]\displaystyle{ N_v }[/math].

В невырожденных полупроводниках концентрация основных носителей мала по сравнению с эффективными плотностями состояний [math]\displaystyle{ N_v, N_c }[/math]. В вырожденных полупроводниках имеет место обратное. Поэтому, сопоставляя измеренные значения концентрации электронов и дырок со значениями [math]\displaystyle{ N_v, N_c }[/math], можно сразу установить, является ли данный полупроводник вырожденным или нет.

Отношение [math]\displaystyle{ \frac{n}{p} }[/math] зависит главным образом от положения уровня Ферми относительно краев зон. Из выражений для концентраций [math]\displaystyle{ n, p }[/math] видно, что концентрация подвижных носителей заряда будет больше в той зоне, к которой ближе расположен уровень Ферми. Поэтому в полупроводниках n-типа уровень Ферми расположен в верхней половине запрещенной зоны, а в полупроводниках p-типа — в нижней половине. Однако произведение концентраций электронов и дырок для невырожденного полупроводника не зависит от положения уровня Ферми и равно [math]\displaystyle{ np =N_cN_v \exp{\frac{-E_g}{kT}} }[/math].

Литература

• Бонч-Бруевич В. Л., Калашников С. Г. Физика полупроводников. — Москва: Наука, 1977.
• Лебедев А. И. Физика полупроводниковых приборов. — Физматлит Москва, 2008. — 488 с. — ISBN 978-5-9221-0995-6.