Моноидальный функтор

В теории категорий моноидальные функторы — это функторы между моноидальными категориями, сохраняюющие моноидальную структуру, то есть умножение и тождественный элемент.

Определение

Пусть [math]\displaystyle{ (\mathcal C,\otimes,I_{\mathcal C}) }[/math] и [math]\displaystyle{ (\mathcal D,\bullet,I_{\mathcal D}) }[/math] — моноидальные категории. Моноидальный функтор из [math]\displaystyle{ \mathcal C }[/math] в [math]\displaystyle{ \mathcal D }[/math] состоит из функтора [math]\displaystyle{ F:\mathcal C\to\mathcal D }[/math], естественного преобразования

[math]\displaystyle{ \phi_{A,B}:FA\bullet FB\to F(A\otimes B) }[/math]

и морфизма

[math]\displaystyle{ \phi:I_{\mathcal D}\to FI_{\mathcal C} }[/math],

называемых структурными морфизмами, таких что для любых [math]\displaystyle{ A }[/math], [math]\displaystyle{ B }[/math], [math]\displaystyle{ C }[/math] в [math]\displaystyle{ \mathcal C }[/math] диаграммы

   и   

коммутативны в категории [math]\displaystyle{ \mathcal D }[/math]. Здесь используются стандартные обозначения [math]\displaystyle{ \alpha, \rho, \lambda }[/math] для моноидальной структуры категорий [math]\displaystyle{ \mathcal C }[/math] и [math]\displaystyle{ \mathcal D }[/math].

Сильно моноидальный функтор — это моноидальный функтор, такой что структурные морфизмы [math]\displaystyle{ \phi_{A,B}, \phi }[/math] обратимы.

Строго моноидальный функтор — это моноидальный функтор, структурные морфизмы которого тождественны.

Пример

Забывающий функтор [math]\displaystyle{ U:(\mathbf{Ab},\otimes_\mathbf{Z},\mathbf{Z}) \rightarrow (\mathbf{Set},\times,\{*\}) }[/math] из категории абелевых групп в категорию множеств. Здесь структурный морфизм [math]\displaystyle{ \phi_{A,B}\colon U(A)\times U(B)\to U(A\otimes B) }[/math] — это сюръекция, индуцированная стандартным отображением [math]\displaystyle{ A\times B\to A\otimes B\to }[/math]; отображение [math]\displaystyle{ \phi\colon \{*\}\to\mathbb Z }[/math] переводит синглетон * в 1.

Примечания

• Kelly, G. Max (1974), «Doctrinal adjunction», Lecture Notes in Mathematics, 420, 257—280