Модель HJM
Модель или подход Хита-Джарроу-Мортона (HJM , Heath-Jarrow-Morton framework ) - в стохастической финансовой математике представляет собой общую структуру для моделирования эволюции мгновенных форвардных процентных ставок в риск-нейтральной мере в целях обеспечения безарбитражности совместной динамики для различных сроков. Концепция HJM берёт своё начало в работах Дэвида Хита , Роберта А. Джарроу и Эндрю Мортона в конце 1980-х годов.
HJM не является конкретной моделью ставок, а лишь определяет необходимую структуру этих моделей в зависимости от моделирования волатильности форвардных ставок, соответственно, в рамках HJM могут быть получены различные модели. Принципиальный вывод и характерное требование HJM-подхода к моделированию динамики ставок - трендовая составляющая (дрифт) диффузионных моделей форвардных ставок полностью определяется функциями волатильности и не может быть независимым параметром. Поскольку из динамики форвардных ставок можно определить динамику краткосрочной ставки, то из подхода HJM следуют также необходимые условия безарбитражности соответствующих диффузионных моделей краткосрочной ставки. В частности, классическая модель Васичека с постоянными параметрами не удовлетворяет требованиям HJM, однако аналогичная модель с изменяющимся (специальным образом) долгосрочным уровнем уже соответствует HJM (см. Модель Халла-Уайта).
HJM моделирует динамику форвардных ставок и конкретизирует трендовую составляющую именно в риск-нейтральной мере, так как форвардная ставка [math]\displaystyle{ f(t,T) }[/math] в собственной форвардной мере (то есть в [math]\displaystyle{ T }[/math]-форвардной мере) является мартингалом и в этой мере её трендовая компонента просто нулевая. Рассмотрение форвардных ставок в собственных мерах удобно не всегда - при рассмотрении одновременной динамики различных форвардных ставок желательно их оценивать в единой мере, в качестве которой в HJM выступает риск-нейтральная мера (тем не менее можно записать формулу и для единой форвардной меры). Моделирование совместной динамики дискретных (по т.н. тенорам) форвардных ставок в единой форвардной мере реализовано в модели LMM
Однако модели, разработанные в соответствии с общей структурой HJM, часто являются немарковскими. Ряд исследователей внесли большой вклад в решение этой проблемы. Они показывают, что если структура волатильности форвардных ставок удовлетворяет определённым условиям, то модель HJM может быть полностью выражена марковской системой с конечным состоянием, что делает её вычислительно осуществимой.
Математическая модель
Общий вид модели в виде стохастического дифференциального уравнения динамики форвардных ставок в риск-нейтральной мере имеет вид:
- [math]\displaystyle{ df(t,T) = \left( \boldsymbol \sigma^T (t,T) \int_t^T \boldsymbol \sigma(t,s) ds \right) dt + \boldsymbol \sigma^T(t,T) d \boldsymbol W_t = \boldsymbol \sigma^T (t,T) \left[ \left( \int_t^T \boldsymbol \sigma(t,s) ds \right) dt + d \boldsymbol W_t \right] }[/math]
где [math]\displaystyle{ f(t,T) }[/math] - процесс мгновенной форвардной ставки для срочности [math]\displaystyle{ T-t }[/math]
- [math]\displaystyle{ \boldsymbol W_t }[/math] - многомерный (в общем случае) винеровский процесс (вектор независимых процессов Винера)
- [math]\displaystyle{ \boldsymbol \sigma(t,T) }[/math] - векторный процесс волатильности для соответствующей форвардной ставки.
Как видно, трендовая составляющая (дрифт) процесса [math]\displaystyle{ \mu(t,T)= \boldsymbol \sigma^T(t,T) \int_t^T \boldsymbol \sigma(t,s) ds }[/math] полностью определяется процессом волатильности вполне конкретным способом. Это и есть принципиальная особенностm HJM (по существу - требование безаритражности модели). Поскольку краткосрочная ставка равна [math]\displaystyle{ r_t=f(t,t) }[/math], то это одновременно налагает ограничение и на параметры моделей краткосрочной ставки. Модель краткосрочной ставки в риск-нейтральной мере имеет следующий вид:
[math]\displaystyle{ r_t=f(t,t)=f(0,t)+ \int^t_0 \boldsymbol \sigma^T(u,t) \int^t_u \boldsymbol \sigma (u,s) dsdu +\int^t_0 \boldsymbol \sigma^T(u,t)dW_u }[/math]
Такой процесс в общем случае не является марковским.
Вывод формулы
В риск-нейтральной мере безарбитражная динамика стоимости бескупонной облигации с единичным номиналом (дисконт-фактор) должна иметь вид:
- [math]\displaystyle{ dP(t,T)/P(t,T) = r_t dt + \boldsymbol \sigma^T_P(t,T) dW_t }[/math]
где [math]\displaystyle{ \boldsymbol \sigma_P(t,T) }[/math] - вектор волатильности для процесса стоимости дисконтных облигаций,
- [math]\displaystyle{ r_t=f(t,t) }[/math] - краткосрочная (мгновенная спот-) ставка.
Тогда из формулы Ито следует, что процесс логарифма от цены дисконтной облигации удовлетворяет следующему уравнению:
- [math]\displaystyle{ d \ln P(t,T) =\left[ r_t - \frac {1} {2} \boldsymbol \sigma^T_P (t,T) \boldsymbol \sigma_P (t,T) \right] dt + \boldsymbol \sigma^T_P (t,T) dW_t }[/math]
Тогда, учитывая, что мгновенная форвардная ставка связана с ценой дисконтной облигации как [math]\displaystyle{ f(t,T)=- \partial_T \ln P(t,T) }[/math] получим:
- [math]\displaystyle{ df(t,T) =\partial_T \boldsymbol \sigma^T_P (t,T) \boldsymbol \sigma_P (t,T) dt - \partial_T \boldsymbol \sigma^T_P (t,T) dW_t }[/math]
Обозначив [math]\displaystyle{ \sigma (t,T) =-\partial_T \boldsymbol \sigma_P (t,T) }[/math] и соответственно [math]\displaystyle{ \sigma_P (t,T) =-\int^T_t \boldsymbol \sigma (t,s)ds }[/math], получим
- [math]\displaystyle{ df(t,T) = \mu (t,T) dt + \boldsymbol \sigma^T (t,T) dW_t }[/math],
где [math]\displaystyle{ \mu(t,T)= \boldsymbol \sigma^T(t,T) \int_t^T \boldsymbol \sigma(t,s) ds }[/math]
Это и есть основной результат и требование к моделям в рамках безарбитражного HJM-моделирования динамики ставок.
Пример HJM-модели
Наиболее простая HJM-модель может быть получена как однофакторная (один винеровский процесс) модель с постоянной и одинаковой для всех сроков волатильностью [math]\displaystyle{ \sigma(t,T) = \sigma }[/math]. Очевидно, в этом случае
[math]\displaystyle{ \sigma_P(t,T) = \int^T_t \sigma ds = \sigma \int^T_t ds=\sigma (T-t) }[/math]
Тогда для риск-нейтральной динамики мгновенной форвардной ставки имеем:
- [math]\displaystyle{ df(t,T) = \sigma^2 (T-t) dt + \sigma dW_t }[/math]
Тогда,
- [math]\displaystyle{ f(t,T)-f(0,T) =\int^T_t df(s,T)ds=\sigma^2 \int^T_t (T-s) ds + \sigma \int^T_t dW_s = - 0.5\sigma^2 [(T-t)^2-T^2] + \sigma W_t }[/math]
Следовательно
- [math]\displaystyle{ r_t=f(t,t) =f(0,t) + 0.5\sigma^2 t^2 + \sigma W_t }[/math]
Дифференцируя по t получим оконачательно следующую модель для краткосрочной ставки ввиде стохастического дифференциального уравнения:
- [math]\displaystyle{ dr_t=(\partial_t f(0,t) + \sigma^2 t)dt + \sigma dW_t }[/math]
Полученное уравнение соответствует модели Хо-Ли. Таким образом, эта модель краткосрочной ставки соответствует исходной модели форвардных ставок с постоянной волатильностью.
Аналогично можно показать, что экспоненциально убывающая волатильность форвардной ставки [math]\displaystyle{ \sigma(t,T)=\sigma e^{-k (T-t)} }[/math] соответствует модель Халла-Уайта для краткосрочной ставки.