Модель Бозе — Хаббарда

Модель Бозе — Хаббарда даёт примерное описание физики взаимодействия бозонов на пространственной решётке. Она тесно связана с моделью Хаббарда, возникшей в физике твёрдого тела как приближённое описание сверхпроводящих систем и движения электронов между атомами твёрдого кристаллического вещества. Слово Бозе указывает на тот факт, что частица в системе — бозон. Впервые модель была введена Х. Гершем (англ. H. Gersch) и Г. Ноллмэном (англ. G. Knollman) в 1963 году, модель Бозе — Хаббарда может использоваться при изучении систем подобных бозонным атомам в оптической решётке. В противоположность этому, модель Хаббарда применима к фермионам (электронам), а не бозонам. Кроме того, модель обобщается на сочетания Бозе- и Ферми-частиц, в этом случае, в соответствии с гамильтонианом, модель будет называться моделью Бозе — Ферми — Хаббарда.

Гамильтониан

Физика этой модели описывается гамильтонианом Бозе — Хаббарда в представлении вторичного квантования:

[math]\displaystyle{ \hat{H} = -t \sum_{ \left\langle i, j \right\rangle } \left( b^{\dagger}_i b_j + b^{\dagger}_j b_i \right) + \frac{U}{2} \sum_{i} \hat{n}_i \left( \hat{n}_i - 1 \right) - \mu \sum_i \hat{n}_i, }[/math]

где индекс i обозначает суммирование по всем узлам решётки трёхмерной решётки, а [math]\displaystyle{ \left\langle i, j \right\rangle }[/math] означает суммирование по всем узлам j соседствующим с i. [math]\displaystyle{ b^{\dagger}_i }[/math] и [math]\displaystyle{ b^{}_i }[/math] — бозонные операторы рождения и уничтожения. Оператор [math]\displaystyle{ \hat{n}_i = b^{\dagger}_i b_i }[/math] задаёт число частиц в узле i. Параметр t — это матричный элемент перехода, имеющий смысл подвижности бозонов в решётке. Параметр U описывает локальное взаимодействие частиц находящихся в одном узле, если U>0, то он описывает потенциал отталкивания и если U<0, то описывает притяжение, [math]\displaystyle{ \mu }[/math] — химический потенциал. Данный гамильтониан не рассматривает эффекты, которые малы в термодинамическом пределе, а именно, когда размер системы и число узлов стремятся к бесконечности. В то же время плотность узлов остаётся конечной.

Размерность Гильбертова пространства модели Бозе — Хаббарда растёт экспоненциально по отношению к числу частиц N и узлов решётки L. Она определяется по формуле: [math]\displaystyle{ D_{b}= \frac{(N_{b}+L-1)!}{N_{b}!(L-1)!} }[/math], в то время как в модели Ферми — Хаббарда задаётся формулой: [math]\displaystyle{ D_{f}= \frac{L!}{N_{f}!(L-N_{f})!}. }[/math] Различные результаты следуют из различия статистики для фермионов и бозонов. Для смеси Бозе- и Ферми-частиц, соответствующее гильбертово пространство в модели Бозе — Ферми — Хаббарда — это прямое тензорное произведение гильбертовых пространств бозонной модели и фермионной модели.

Фазовая диаграмма

При нулевой температуре, модель Бозе — Хаббарда (при отсутствии беспорядка) находится либо в состоянии изолятора Мотта — состояние с малым t/U, либо в сверхтекучем состоянии — с большим t/U. Изолятор Мотта характеризуется целочисленной плотностью бозонов, наличием запрещённой зоны для возбуждений частица-дырка и нулевой сжижаемостью. При наличии беспорядка, присутствует третья фаза «стекло Бозе». Она характеризуется конечной сжижаемостью, отсутствием запрещённой зоны, бесконечной сверхтекучестью. Это изолирующее состояние, несмотря на наличие ширины запрещённой зоны, из-за того, что низкая вероятность туннелирования предотвращает образование возбуждений, которые хотя и близки по энергиям, но пространственно разделены.

Реализация в оптических решётках

Ультрахолодные атомы в оптических решётках считаются стандартной реализацией модели Бозе — Хаббарда. Возможность изменения параметров модели при помощи простых экспериментальных методов, отсутствие динамики решётки в электронных системах — всё это обеспечивает очень хорошие условия по экспериментальному изучению этой модели.

Гамильтониан в формализме вторичного квантования описывает газ из ультрахолодных атомов в оптической решётке в следующем виде:

[math]\displaystyle{ H= \int d^3\vec r \hat\psi^\dagger(\vec r) \left ( -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 +V_{latt.}(x) \right) \hat\psi(\vec r) + \frac{g}{2}\int d^3\vec r\hat \psi^\dagger(\vec r)\hat\psi^\dagger(\vec r)\hat\psi(\vec r)\hat\psi(\vec r) - \mu\int d^3\vec r \psi^\dagger(\vec r)\hat\psi(\vec r), }[/math]

где [math]\displaystyle{ V_{latt} }[/math] — оптический потенциал решётки, g — амплитуда взаимодействия (здесь предполагается контактное взаимодействие), [math]\displaystyle{ \mu }[/math] — химический потенциал. Стандартное приближение сильно связанных электронов

[math]\displaystyle{ \hat\psi(\vec r) = \sum\limits_i w_i^\alpha (\vec r) b_i^\alpha }[/math]

даёт гамильтонианы Бозе — Хаббарда, если дополнительно допустить, что

[math]\displaystyle{ \int w_i^\alpha(\vec r)w_j^\beta(\vec r)w_k^\gamma(r)w_l^\delta(\vec r) d^3\vec r=0 }[/math]

за исключением случаев [math]\displaystyle{ i=j=k=l , \alpha=\beta=\gamma=\delta=0 }[/math]. Здесь [math]\displaystyle{ w_i^\alpha(\vec r) }[/math] — это функция Ванье для частицы в потенциале оптической решётки, локализованном вокруг узла i решётки и для [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] Блоховской зоны.

Тонкие различия и приближения

Приближение сильно связанных электронов существенно упрощает вторичное квантование гамильтониана, в то же время вводя ряд ограничений:

• Параметры U и J на самом деле могут зависеть от плотности, как отброшенные члены, они фактически не равны нулю; вместо одного параметра U, энергия взаимодействия частиц n может быть описана следующим: [math]\displaystyle{ U_n }[/math] примерно, но не равно U
• При рассмотрении быстрой динамики решётки, к гамильтониану Бозе — Хаббарда должны быть добавлены дополнительные условия, так что будет исполняться уравнение Шрёдингера. Оно выходит из зависимости функций Ванье от времени.

Экспериментальные результаты

Квантовые фазовые переходы в модели Бозе — Хаббарда экспериментально наблюдались группой учёных из Греньера (Greiner) и др. в Германии. Параметры взаимодействия [math]\displaystyle{ U_n }[/math], зависящие от плотности, наблюдались группой Эммануэля Блоха.

Дальнейшие приложения модели

Модель Бозе — Хаббарда также представляет интерес для тех, кто работает в области квантовых вычислений и квантовой информации. С помощью этой модели можно исследовать запутанность ультрахолодных атомов.

Численное моделирование

При вычислении низкоэнергетических состояний член, пропорциональный [math]\displaystyle{ n^2 U }[/math], что большое заниание одной стороны маловероятно, позволяя усекать местное гильбертово пространство к состояниям, содержащим не более [math]\displaystyle{ d \lt \infty }[/math] частиц. Тогда локальная размерность гильбертова пространства будет [math]\displaystyle{ d+1. }[/math] Размерность полного гильбертового пространства растёт экспоненциально с числом мест в решётке, поэтому компьютерным моделированием огрничиваются системы из 15-20 частиц в 15-20 узлах решётки. Экспериментальные системы содержат несколько миллионов сторон решётки со средним заполнением выше единицы. Для численной симуляции этой модели, алгоритм точной диагонализации представлен в работе под сноской.

Одномерные решётки могут быть рассмотрены методом группы ренормализации плотности матрицы и связанными с этим методиками, такой как алгоритм Time-evolving block decimation. Это включает в себя расчёт фонового состояния гамильтониана для систем из тысяч частиц на сторонах решётки и моделирование её динамики, регулирумой уравнение Шрёдингера. Высшие мерности решётки моделировать значительно сложнее при повышении запутанности.

Все мерности могут рассматриваться алгоритмами квантового Монте-Карло, которые дают возможность изучать свойства тепловых состояний гамильтониана, а также конкретное фоновое состояние.

Обобщения

Подобные Бозе — Хаббарда гамильтонианы могут быть получены для:

• систем с плотность-плотность взаимодействиями [math]\displaystyle{ V n_i n_j }[/math]
• дальним дипольным взаимодействием
• внутренней спиновой структурой (спин-1 модели Бозе — Хаббарда)
• неупорядоченных систем

См. также

• Модель Хаббарда