Метрика Леви — Прохорова

Метрика Леви — Прохорова (метрика Прохорова) — метрика на пространстве конечных вероятностных мер; введена в 1956 году Юрием Прохоровым в качестве обобщения метрики Леви (определённой Полем Леви в 1937 году).

Определяется на пространстве [math]\displaystyle{ \mathcal{P} (M) }[/math] всех конечных вероятностных мер на измеримом пространстве [math]\displaystyle{ (M, \mathcal{B} (M)) }[/math], где [math]\displaystyle{ (M,d) }[/math] — метрическое пространство, а [math]\displaystyle{ \mathcal{B} (M) }[/math] — борелевская сигма-алгебра на нём. Для подмножества [math]\displaystyle{ A \subseteq M }[/math] определяется эпсилон-окрестность [math]\displaystyle{ A }[/math] как:

[math]\displaystyle{ A^{\varepsilon} := \{ p \in M \mid \exists q \in A, \ d(p, q) \lt \varepsilon \} = \bigcup_{p \in A} B_{\varepsilon} (p) }[/math],

где [math]\displaystyle{ B_{\varepsilon} (p) }[/math] — открытый шар радиусом [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] с центром в [math]\displaystyle{ p }[/math]. Метрика [math]\displaystyle{ \pi : \mathcal{P} (M)^{2} \to [0, + \infty) }[/math] определяется установлением расстояния между двумя вероятностными мерами [math]\displaystyle{ \mu }[/math] и [math]\displaystyle{ \nu }[/math] как:

[math]\displaystyle{ \pi (\mu, \nu) := \inf \left\{ \varepsilon \gt 0 \mid \forall (A \in \mathcal{B}(M)) \, \mu(A) \leqslant \nu (A^{\varepsilon}) + \varepsilon \ \wedge \ \nu (A) \leqslant \mu (A^{\varepsilon}) + \varepsilon \right\} }[/math].

Очевидно, что для вероятностных мер [math]\displaystyle{ \pi (\mu, \nu) \leqslant 1 }[/math].

Свойства

Если пространство [math]\displaystyle{ (M, d) }[/math] является сепарабельным, то схождение мер в метрике Леви — Прохорова эквивалентно слабой сходимости мер. Таким образом, [math]\displaystyle{ \pi }[/math] — это метризация топологии слабой сходимости вероятности на [math]\displaystyle{ \mathcal{P} (M) }[/math].

Метрическое пространство [math]\displaystyle{ \left( \mathcal{P} (M), \pi \right) }[/math] является сепарабельным тогда и только тогда когда [math]\displaystyle{ (M, d) }[/math] сепарабельно.

Если пространство [math]\displaystyle{ \left( \mathcal{P} (M), \pi \right) }[/math] является полным, то [math]\displaystyle{ (M, d) }[/math] также является полным пространством. Если у всех мер в [math]\displaystyle{ \mathcal{P} (M) }[/math] есть сепарабельный носитель меры, то обратное утверждение также верно: если [math]\displaystyle{ (M, d) }[/math] — полное, то [math]\displaystyle{ \left( \mathcal{P} (M), \pi \right) }[/math] — полное. В частности, это тот случай, когда [math]\displaystyle{ (M, d) }[/math] является сепарабельным.

Если [math]\displaystyle{ (M, d) }[/math] сепарабельное и полное, подмножество [math]\displaystyle{ \mathcal{K} \subseteq \mathcal{P} (M) }[/math] является относительно компактным пространством тогда и только тогда, когда [math]\displaystyle{ \pi }[/math]-замыкание является [math]\displaystyle{ \pi }[/math]-компактным.

Если [math]\displaystyle{ (M,d) }[/math] сепарабельное, то [math]\displaystyle{ \pi (\mu , \nu ) = \inf \{ \alpha (X,Y) \mid \text{Law}(X) = \mu , \text{Law}(Y) = \nu \} }[/math], где [math]\displaystyle{ \alpha (X,Y) = \inf\{ \varepsilon \gt 0 \mid \mathbb{P} ( d( X ,Y ) \gt \varepsilon ) \leqslant \varepsilon \} }[/math] — метрика Ци Фаня.

Литература

• Леви — Прохорова метрика — статья из Математической энциклопедии. В. М. Золотарёв
• Patrick Billingsley. Convergence of Probability Measures. — N. Y.: John Wiley & Sons, 1999. — ISBN 0-471-19745-9.
• R. M. Dudley. Real analysis and probability. — Pacific Grove, Calif.: Wadsworth & Brooks/Cole, 1989. — ISBN 0-534-10050-3.
• Svetlozar T. Račev. Probability metrics and the stability of stochastic models. — Chichester: Wiley, 1991. — ISBN 0-471-92877-1.