Матрица Сильвестра

Матрица Сильвестра — матрица, позволяющая вычислить результант двух многочленов. Введена английским математиком Джеймсом Сильвестром.

Определение

Пусть даны многочлены

[math]\displaystyle{ A(x) = \sum_{i=0}^{n}{a_i x^i} = a_0 + a_1 x + \ldots + a_n x^n }[/math],

[math]\displaystyle{ B(x) = \sum_{i=0}^{m}{b_i x^i} = b_0 + b_1 x + \ldots + b_m x^m }[/math].

Тогда матрицей Сильвестра для этих многочленов будет квадратная матрица [math]\displaystyle{ (n+m) \times (n+m) }[/math] вида

[math]\displaystyle{ S_{A,B} = \begin{pmatrix} a_n & a_{n-1} & a_{n-2} & \cdots & \cdots & a_0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_n & a_{n-1} & a_{n-2} & \cdots & a_1 & a_0 & \cdots & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & \cdots & 0 & a_n & a_{n-1} & a_{n-2} & \cdots & a_1 & a_0 \\ b_m & b_{m-1} & \cdots & \cdots & b_0 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & b_m & \cdots & \cdots & b_1 & b_0 & 0 & \cdots & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & \cdots & \cdots & \cdots & 0 & b_m & \cdots & b_1 & b_0 \end{pmatrix} }[/math].

Количество строк матрицы, содержащих коэффициенты многочлена [math]\displaystyle{ a(x) }[/math], равно [math]\displaystyle{ m }[/math], а многочлена [math]\displaystyle{ b(x) }[/math] — [math]\displaystyle{ n }[/math]. Результант многочленов находится как определитель этой матрицы:

[math]\displaystyle{ R(A,B) = \det S_{A,B} }[/math].

Пример

Для многочленов

[math]\displaystyle{ A(x) = a_2 x^2 + a_1 x + a_0 }[/math],

[math]\displaystyle{ B(x) = b_3 x^3 + b_2 x^2 + b_1 x + b_0 }[/math]

матрица Сильвестра будет выглядеть так:

[math]\displaystyle{ S_{A,B} = \begin{pmatrix} a_2 & a_1 & a_0 & 0 & 0 \\ 0 & a_2 & a_1 & a_0 & 0 \\ 0 & 0 & a_2 & a_1 & a_0 \\ b_3 & b_2 & b_1 & b_0 & 0 \\ 0 & b_3 & b_2 & b_1 & b_0 \end{pmatrix} }[/math].

См. также

• Матрица Безу

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Sylvester Matrix (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Application to Elimination Theory