Малая теорема Фубини

Малая теорема Фубини — это теорема о почленном дифференцировании ряда монотонных функций, которая гласит:

Всюду сходящийся ряд монотонных (неубывающих) функций:

[math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty F_n(x)=F(x)\qquad(1) }[/math]

почти всюду допускает почленное дифференцирование:

[math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty F_n'(x)=F'(x). }[/math]

Доказательство

Без ограничения общности можно считать все функции [math]\displaystyle{ F'(x) }[/math] неотрицательными и равными нулю при [math]\displaystyle{ x=a }[/math]; в противном случае можно заменить [math]\displaystyle{ F_n(x) }[/math] на [math]\displaystyle{ F_n(x)-F_n(a) }[/math]. Сумма ряда неубывающих функций есть, конечно, неубывающая функция.

Рассмотрим множество [math]\displaystyle{ E }[/math] полной меры, на котором существуют все [math]\displaystyle{ F_n'(x) }[/math] и [math]\displaystyle{ F'(x) }[/math]. При [math]\displaystyle{ x\subset E }[/math] и любом [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] мы имеем:

[math]\displaystyle{ \frac{\sum\limits_{n=1}^\infty[F_n(\varepsilon)-F_n(x)]}{\varepsilon-x}=\frac{F(\varepsilon)-F(x)}{\varepsilon-x}. }[/math]

Так как слагаемые, стоящие слева, неотрицательны, то при любом [math]\displaystyle{ N }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{\sum\limits_{n=1}^N[F_n(\varepsilon)-F_n(x)]}{\varepsilon-x}\leqslant\frac{F(\varepsilon)-F(x)}{\varepsilon-x}. }[/math]

Переходя к пределу при [math]\displaystyle{ \varepsilon\to x }[/math], получаем:

[math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^N F_n'(x)\leqslant F'(x), }[/math]

откуда, устремляя [math]\displaystyle{ N }[/math] к [math]\displaystyle{ \infty }[/math] и учитывая, что все [math]\displaystyle{ F_n'(x) }[/math] неотрицательны, находим:

[math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty F_n'(x)\leqslant F'(x).\qquad(2) }[/math]

Покажем, что в действительности почти при всех [math]\displaystyle{ x }[/math] здесь имеет места знак равенства. Найдём для заданного [math]\displaystyle{ k }[/math] частную сумму [math]\displaystyle{ S_{nk}(x) }[/math] ряда (1), для которой:

[math]\displaystyle{ 0\leqslant F(b)-S_{nk}(b)\prec\frac{1}{2^k}.\quad(k=1,\;2,\;\ldots) }[/math]

Так как разность

[math]\displaystyle{ F(x)-S_{nk}(x)=\sum_{j\succ nk}F_j(x) }[/math] — неубывающая функция, то и для всех [math]\displaystyle{ x }[/math]

[math]\displaystyle{ 0\leqslant F(x)-S_{nk}(x)\prec\frac{1}{2^k} }[/math]

и, следовательно, ряд из неубывающих функций

[math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty[F(x)-S_{nk}(x)] }[/math]

сходится (даже равномерно) на всём отрезке [math]\displaystyle{ a\leqslant x\leqslant b }[/math].

Но тогда по доказанному и ряд производных сходится почти всюду. Общий член этого ряда [math]\displaystyle{ F'(x)-S_{nk}'(x) }[/math] почти всюду стремится к нулю, и, значит, почти всюду [math]\displaystyle{ S_{nk}'(x)\to F'(x) }[/math]. Но если бы в неравенстве (2) стоял знак [math]\displaystyle{ \lt }[/math], то никакая последовательность частных сумм не могла бы иметь пределом [math]\displaystyle{ F'(x) }[/math]. Поэтому в неравенстве (2) почти при каждом [math]\displaystyle{ x }[/math] должен иметь место знак равенства, что мы и утверждали.