Коррелограммный метод

Коррелограммный метод — один из методов оценки спектральной плотности мощности сигнала.

Предварительные сведения

Математическое ожидание случайной величины [math]\displaystyle{ x(n) }[/math] (среднее) есть: [math]\displaystyle{ E[x(n)]=\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{2N+1}\sum\limits_{n=-N}^{N}x_n }[/math]. Автокорреляционная функция определяется как скалярное произведение сигнала и его копии в функциональной зависимости от переменной величины значения т. н. корреляционного сдвига [math]\displaystyle{ m }[/math]: [math]\displaystyle{ r_{xx}(m)=E[x(n+m)x(n)] }[/math].

Сущность метода

Согласно теореме Винера-Хинчина автокорреляционная функция и спектральная плотность мощности [math]\displaystyle{ S(\omega) }[/math] связаны соотношением (преобразованием Фурье): [math]\displaystyle{ S(\omega)=T\sum\limits_{m=-\infty}^{+\infty}r_{xx,m}e^{-j\omega mT} }[/math], где [math]\displaystyle{ T }[/math] — интервал дискретизации. На практике для вычисления спектральной плотности мощности используют ограниченную сумму и некоторую оценку автокорреляционной функции. Например, можно использовать оценку [math]\displaystyle{ r_{xx}^{1}=\frac{1}{N-m}\sum\limits_{n=0}^{N-M-1}x_{n+m}x_{n} }[/math], которая является несмещенной (то есть [math]\displaystyle{ E[r_{xx}^1]=r_{xx} }[/math]). Также можно пользоваться смещенной оценкой: [math]\displaystyle{ r_{xx}^{2}=\frac{1}{N}\sum\limits_{n=0}^{N-M-1}x_{n+m}x_{n} }[/math], математическое ожидание которой [math]\displaystyle{ E[r_{xx}^2]=\frac{N-m}{N}r_{xx} }[/math]. При наличии оценки (например, несмещенной) автокорреляционной функции для максимально возможного корреляционного сдвига [math]\displaystyle{ L }[/math], вычисление спектральной плотности мощности выполняется по формуле: [math]\displaystyle{ S_1(\omega)=T\sum\limits_{m=-L}^{L}r_{xx,m}^1e^{-j\omega mT} }[/math].

Коррелограммный метод дополняется умножением автокорреляционной функции на функцию весового окна [math]\displaystyle{ w(m) }[/math]: [math]\displaystyle{ S_1(\omega)=T\sum\limits_{m=-L}^{L}r_{xx,m}^1 w_m e^{-j\omega mT} }[/math].

Литература

• Цифровая обработка сигналов: Справочник. Гольденберг Л. М., Матюшкин Б. Д., Поляк М. Н. — М.: Радио и связь, 1985.
• Прикладной анализ временных рядов. Основные методы. Отнес Р., Эноксон Л. — М.: Мир, 1982.