Конъюнктивная нормальная форма

Конъюнкти́вная норма́льная фо́рма (КНФ) в булевой логике — нормальная форма, в которой булева формула имеет вид конъюнкции дизъюнкций литералов. Конъюнктивная нормальная форма удобна для автоматического доказательства теорем. Любая булева формула может быть приведена к КНФ.^[1] Для этого можно использовать: закон двойного отрицания, закон де Моргана, дистрибутивность.

Примеры и контрпримеры

Формулы в КНФ:

[math]\displaystyle{ \neg A \wedge (B \vee C), }[/math]

[math]\displaystyle{ (A \vee B) \wedge (\neg B \vee C \vee \neg D) \wedge (D \vee \neg E), }[/math]

[math]\displaystyle{ A \wedge B. }[/math]

Формулы не в КНФ:

[math]\displaystyle{ \neg (B \vee C), }[/math]

[math]\displaystyle{ (A \wedge B) \vee C, }[/math]

[math]\displaystyle{ A \wedge (B \vee (D \wedge E)). }[/math]

Но эти 3 формулы не в КНФ эквивалентны следующим формулам в КНФ:

[math]\displaystyle{ \neg B \wedge \neg C, }[/math]

[math]\displaystyle{ (A \vee C) \wedge (B \vee C), }[/math]

[math]\displaystyle{ A \wedge (B \vee D) \wedge (B \vee E). }[/math]

Построение КНФ

Алгоритм построения КНФ

1) Избавиться от всех логических операций, содержащихся в формуле, заменив их основными: конъюнкцией, дизъюнкцией, отрицанием. Это можно сделать, используя равносильные формулы:

[math]\displaystyle{ A \rightarrow B = \neg A \vee B, }[/math]

[math]\displaystyle{ A \leftrightarrow B = (\neg A \vee B) \wedge (A \vee \neg B). }[/math]

2) Заменить знак отрицания, относящийся ко всему выражению, знаками отрицания, относящимися к отдельным переменным высказываниям на основании формул:

[math]\displaystyle{ \neg (A \vee B) = \neg A \wedge \neg B, }[/math]

[math]\displaystyle{ \neg (A \wedge B) = \neg A \vee \neg B. }[/math]

3) Избавиться от знаков двойного отрицания.

4) Применить, если нужно, к операциям конъюнкции и дизъюнкции свойства дистрибутивности и формулы поглощения.

Пример построения КНФ

Приведем к КНФ формулу

[math]\displaystyle{ F = ( X \rightarrow Y ) \wedge (( \neg Y \rightarrow Z ) \rightarrow \neg X ). }[/math]

Преобразуем формулу [math]\displaystyle{ F }[/math] к формуле, не содержащей [math]\displaystyle{ \rightarrow }[/math]:

[math]\displaystyle{ F = ( \neg X \vee Y ) \wedge ( \neg ( \neg Y \rightarrow Z ) \vee \neg X ) = ( \neg X \vee Y ) \wedge ( \neg ( \neg \neg Y \vee Z ) \vee \neg X ). }[/math]

В полученной формуле перенесем отрицание к переменным и сократим двойные отрицания:

[math]\displaystyle{ F = ( \neg X \vee Y) \wedge ((\neg Y \wedge \neg Z) \vee \neg X). }[/math]

По закону дистрибутивности получим КНФ:

[math]\displaystyle{ F = (\neg X \vee Y) \wedge (\neg X \vee \neg Y) \wedge (\neg X \vee \neg Z). }[/math]

k-конъюнктивная нормальная форма

k-конъюнктивной нормальной формой называют конъюнктивную нормальную форму, в которой каждая дизъюнкция содержит ровно k литералов.

Например, следующая формула записана в 2-КНФ:

[math]\displaystyle{ (A \lor B) \land (\neg B \lor C) \land (B \lor \neg C). }[/math]

Переход от КНФ к СКНФ

Если в простой дизъюнкции не хватает какой-то переменной (например, z), то добавляем в неё выражение :[math]\displaystyle{ Z \wedge \neg Z = 0 }[/math] (это не меняет самой дизъюнкции), после чего раскрываем скобки с использованием распределительного закона:

[math]\displaystyle{ (X \vee Y) \wedge (X \vee \neg Y \vee \neg Z) = (X \vee Y \vee (Z \wedge \neg Z)) \wedge (X \vee \neg Y \vee \neg Z) = (X \vee Y \vee Z) \wedge (X \vee Y \vee \neg Z) \wedge (X \vee \neg Y \vee \neg Z). }[/math]

Таким образом, из КНФ получена СКНФ.

Формальная грамматика, описывающая КНФ

Следующая формальная грамматика описывает все формулы, приведенные к КНФ:

<КНФ> → <дизъюнкт>

<КНФ> → <КНФ> ∧ <дизъюнкт>

<дизъюнкт> → <литерал>;

<дизъюнкт> → (<дизъюнкт> ∨ <литерал>)

<литерал> → <терм>

<литерал> → ¬<терм>

где <терм> обозначает произвольную булеву переменную.

Задача выполнимости формулы в КНФ

В теории вычислительной сложности важную роль играет задача выполнимости булевых формул в конъюнктивной нормальной форме. Согласно теореме Кука, эта задача NP-полна, и она сводится к задаче о выполнимости формул в 3-КНФ, которая сводится и к которой в свою очередь сводятся другие NP-полные задачи.

Задача о выполнимости 2-КНФ формул может быть решена за линейное время.

Особенности обозначений

Следует отметить, что для удобства восприятия в качестве обозначения конъюнкции и дизъюнкции часто используют символы арифметического умножения и сложения, при этом символ умножения часто опускается. В этом случае формулы булевой алгебры выглядят как алгебраические полиномы, что более привычно для глаза, однако иногда может привести к недоразумениям.

Например, следующие записи эквивалентны:

[math]\displaystyle{ (A \vee B) \wedge (\neg B \vee C \vee \neg D) \wedge (D \vee \neg E); }[/math]

[math]\displaystyle{ (A \vee B) \wedge (\overline{B} \vee C \vee \overline{D}) \wedge (D \vee \overline{E}); }[/math]

[math]\displaystyle{ (A \vee B) \cdot (\overline{B} \vee C \vee \overline{D}) \cdot (D \vee \overline{E}); }[/math]

[math]\displaystyle{ (A \vee B)(\overline{B} \vee C \vee \overline{D})(D \vee \overline{E}); }[/math]

[math]\displaystyle{ (A + B)(\overline{B} + C + \overline{D})(D + \overline{E}). }[/math]

По этой причине КНФ в русскоязычной литературе иногда называют «произведением сумм», что является калькой с английского термина «product of sums».

См. также

Примечания

↑ Поздняков С.Н., Рыбин С.В. Дискретная математика. — С. 303.

Литература

Ю.И. Галушкина, А.Н. Марьямов: Конспект лекций по дискретной математике - 2-е изд., испр. - М.: Айрис-пресс, 2008. - 176 с. - (Высшее образование)

Ссылки

Дизъюнктивная и Конъюнктивная нормальные формы

[nf-1] Поздняков С.Н., Рыбин С.В. Дискретная математика. — С. 303.

[1]