Контекстно-свободная грамматика

Контекстно-свободная грамматика (КС-грамматика, бесконтекстная грамматика) — частный случай формальной грамматики (тип 2 по иерархии Хомского), у которой левые части всех продукций являются одиночными нетерминалами (объектами, обозначающими какую-либо сущность языка (например: формула, арифметическое выражение, команда) и не имеющими конкретного символьного значения). Смысл термина «контекстно-свободная» заключается в том, что есть возможность применить продукцию к нетерминалу, причём независимо от контекста этого нетерминала (в отличие от общего случая неограниченной грамматики Хомского).

Язык, который может быть задан КС-грамматикой, называется контекстно-свободным языком или КС-языком.

По сути КС-грамматика — другая форма БНФ.

Применение

КС-грамматики находят большое применение в информатике. Ими задаётся грамматическая структура большинства языков программирования, структурированных данных и т. д. (см. грамматический анализ)

Для разбора КС-грамматики достаточно автомата с магазинной памятью, для разбора не-КС-грамматик может потребоваться полная машина Тьюринга.

Типы КС грамматик

• LL-грамматика
• LALR-грамматика (см.: LALR(1))
• LR-грамматика
• SLR-грамматика (см.: SLR(1))

Распознаватели

Существуют два разных класса распознавателей (автоматов для распознавания) КС-языков. Их названия связаны с порядком построения дерева вывода. Как правило, все распознаватели читают входную цепочку символов слева направо, поскольку предполагается такая нотация в написании исходного текста программ.

Нисходящие распознаватели

Нисходящие распознаватели, которые порождают цепочки левостороннего вывода и строят дерево вывода сверху вниз.

Они используют модификации алгоритма с подбором альтернатив. При их создании применяется метод, который позволяет однозначно выбрать одну и только одну альтернативу на каждом шаге работы МП-автомата (шаг «выброс» в этом автомате всегда выполняется однозначно).

Восходящие распознаватели

Восходящие распознаватели, которые порождают цепочки правостороннего вывода и строят дерево вывода снизу вверх.

Восходящие распознаватели используют модификации алгоритма «сдвиг-свертка» (или «перенос-свертка», что то же самое). При их создании применяются методы, которые позволяют однозначно выбрать между выполнением «сдвига» («переноса») или «свертки» на каждом шаге работы расширенного МП-автомата, а при выполнении свертки однозначно выбрать правило, по которому будет производиться свертка. Алгоритм «сдвиг-свертка».

Примеры

Примеры КС-грамматик и соответствующих им КС-языков:

Слово с переворотом

Основная статья: Палиндром

Задаётся формулой [math]\displaystyle{ L=\{w \in \Sigma^* | w = w^R\} }[/math]

• Терминалы: буквы алфавита [math]\displaystyle{ \Sigma }[/math];
• Нетерминал: [math]\displaystyle{ S }[/math];
• Продукции: [math]\displaystyle{ S\rightarrow\alpha S\alpha\,|\,\alpha\,|\,\varepsilon, \alpha \in \Sigma }[/math]
• Начальный нетерминал — [math]\displaystyle{ S }[/math].

Вложенные скобки

• Терминалы: [math]\displaystyle{ ( }[/math] и [math]\displaystyle{ ) }[/math];
• нетерминал: [math]\displaystyle{ S }[/math];
• продукции: [math]\displaystyle{ S \rightarrow (S) \mid \varepsilon }[/math];
• начальный нетерминал — [math]\displaystyle{ S }[/math].

Этой грамматикой задаётся язык вложенных скобок [math]\displaystyle{ \{ \left(^n \right)^n \mid n \geq 0\} }[/math].

Язык Дика

Основная статья: Язык Дика

Арифметическое выражение

• Терминалы: '+', '-', '*', '/', '(', ')', 'x'
• нетерминалы: <выражение>, <слагаемое>, <множитель>
• продукции:

<выражение> → <выражение> + <слагаемое>,
<выражение> → <выражение> - <слагаемое>,
<выражение> → <слагаемое>,
<слагаемое> → <слагаемое> * <множитель>,
<слагаемое> → <слагаемое> / <множитель>,
<слагаемое> → <множитель>,
<множитель> → ( <выражение> ),
<множитель> → x,

• начальный нетерминал: <выражение>.

Этой грамматикой задаётся арифметическое выражение, содержащее простейшие арифметические действия над переменной x. Если заменить терминал 'x' на нетерминал <число>, то получится грамматика, задающая арифметическое выражение, состоящее из операций сложения, вычитания, умножения и деления над целыми числами.

Ограничения возможностей КС-грамматик

Не все языки могут быть заданы с помощью КС-грамматик. Проще всего это можно доказать так: КС-грамматики образуют счётное множество, в то время как мощность множества всех языков — континуум. Конструктивное доказательство этого же факта может быть получено, например, на основе того, что язык {aⁿbⁿcⁿ | n≥1} не является контекстно-свободным; однако короткого доказательства последнего утверждения, по-видимому, не существует: опубликованные доказательства опираются на теорему о разрастании для контекстно-свободных языков.

Обобщения

Грамматика сложения деревьев обобщает контекстно-свободную грамматику тем, что элементарной единицей в правилах вывода являются деревья, а не отдельные символы.

См. также

• Контекстно-зависимая грамматика
• Матричная грамматика

Литература

• Джон Хопкрофт, Раджив Мотвани, Джеффри Ульман. Введение в теорию автоматов, языков и вычислений = Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation. — М.: «Вильямс», 2002. — С. 528. — ISBN 0-201-44124-1.
• Белоусов А. И., Ткачёв С. Б. Дискретная математика. — М.: МГТУ, 2006. — 743 с. — ISBN 5-7038-2886-4.