Язык Дика
Языком Дика (англ. Dyck language) над 2n буквами называется контекстно-свободный язык, который состоит из сбалансированных наборов скобок n разных видов. Формально это язык над алфавитом {a1,b1,a2,b2,…an,bn}, порождаемый грамматикой S → ε, S → a1Sb1S, . . . , S → anSbnS.
При любом положительном целом n грамматика является однозначной. Словами этого языка являются последовательности правильно вложенных скобок n типов.
Язык назван в честь немецкого алгебраиста Вальтера фон Дика.
Ограниченный язык Дика
Ограниченный язык Дика над алфавитом B=U[math]\displaystyle{ \cup }[/math]U` есть множество тех слов (цепочек) в алфавите B, которые переводятся в ε последовательным вычеркиванием пар аа`,bb`,… Но не пар a`a, b`b.
Пример порождения языка Дика может быть представлен следующей грамматикой:
S→SS
S→aSa`,bSb`,…
S→aa`,bb`,…
Вывод для цепочки abbaa`b`cc`bb`b`a`
так же возможны и другие выводы данной цепочки
Простые цепочки по Дику
(Д-простые цепочки)
Цепочка d[math]\displaystyle{ \in }[/math]D* называется Простой цепочкой по Дику если никакое непустое начало цепочки d отличное от самой d, не принадлежит D*. Заменяя слово «начало» на слово «конец», получаем эквивалентное определение.
g=xf1…fm[math]\displaystyle{ \overline {x} }[/math],
где fi[math]\displaystyle{ \in }[/math]Dxi, xi[math]\displaystyle{ \ne }[/math][math]\displaystyle{ \overline {x} }[/math], i=1,…,m.
Пример
Д-простая цепочка: a`baa`bb`b`a
Рассмотрим данную цепочку с первого элемента цепочки — a`. Парой для него будет последний элемент цепочки — a. Критерием для пары является отсутствие идентичности элементов между собой. Эти элементы являются спаренными и обозначается: a[math]\displaystyle{ \ne }[/math][math]\displaystyle{ \overline {a} }[/math]`
Dx это множество всех Д-простых цепочек, которые начинаются элементом x и оканчиваются элементом [math]\displaystyle{ \overline {x} }[/math].
Построение однозначной КС-грамматики, порождающей язык Дика
Заданный алфавит
{a, a`,b, b`}
Нетерминальные символы
{Da, Da`, Db, Db`, A} [math]\displaystyle{ \in }[/math] некоторому языку, который состоит из конкатенаций любых цепочек [math]\displaystyle{ \in }[/math] Da[math]\displaystyle{ \cup }[/math]Da`[math]\displaystyle{ \cup }[/math]Db[math]\displaystyle{ \cup }[/math] Db`
E — пустая цепочка.
Da содержит, помимо цепочки aa`, все цепочки, имеющие вид
af1…fma`
где fi[math]\displaystyle{ \in }[/math]Dxi, xi[math]\displaystyle{ \ne }[/math][math]\displaystyle{ \overline {a} }[/math]
(1) Da,=aAa`=aa`
(2) A=(Da`+Db+ Db`)(A+E)
Языку Дика D соответствует уравнение:
(3) D*=(Da+Da`+Db+ Db`)
Уравнения типов (1) и (2) вместе с уравнением (3) задают некоторую однозначную грамматику.
Примечание:
Эта грамматика однозначна, так как она порождает слева направо Д-простые сомножители цепочки [math]\displaystyle{ \in }[/math] D*.
Однозначная грамматика, порождающая ограниченный язык Дика
Для построения данной грамматики мы исключаем множества Da`, Db` и т. д.
Цепочки начинающиеся штрихованными элементами, не рассматриваются.
Da=aUa`+aa`
Db=bUb`+bb`
U=(Da+Db)(U+E)
D*r=(Da+Db)D*r+E
Литература
- Пентус А. Е., Пентус М. Р. Теория формальных языков: Учебное пособие. — М.: Изд-во ЦПИ при механико-математическом ф-те МГУ, 2004. — 80 с.
- Гросс М., Лантен А. Теория формальных грамматик. — М.: Мир, 1971. — С. 232-239. — 294 с.
Для улучшения этой статьи желательно: |