Бордизм
Бордизм, также бордантность — термин топологии, употребляющийся самостоятельно или в составе стандартных словосочетаний в нескольких родственных смыслах, почти во всех из них вместо бордизм раньше[источник не указан 3982 дня] говорили о кобордизмах, старая терминология тоже сохранилась.
Неориентированные бордизмы
Неориентированные бордизмы — простейший вариант бордизмов. Два гладких замкнутых [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерных многообразия [math]\displaystyle{ M }[/math] и [math]\displaystyle{ M' }[/math] бордантны (ограничивают, или внутренне гомологичны), если существует гладкое компактное [math]\displaystyle{ (n+1) }[/math]-мерное многообразие [math]\displaystyle{ W }[/math] (называемое плёнка), край которого состоит из двух многообразий [math]\displaystyle{ M }[/math] и [math]\displaystyle{ M' }[/math], (или точнее многообразий [math]\displaystyle{ M_0 }[/math] и [math]\displaystyle{ M_1 }[/math] диффеоморфных, соответственно, [math]\displaystyle{ M }[/math] и [math]\displaystyle{ M' }[/math] посредством некоторых диффеоморфизмов [math]\displaystyle{ g_0\colon M\to M_0 }[/math] и [math]\displaystyle{ g_1\colon M'\to M_1 }[/math]). Совокупность многообразий, бордантных друг другу, называется классами бордизмов, а тройку [math]\displaystyle{ (W,\;M_0,\;M_1) }[/math] называют бордизмом (точнее было бы говорить о пятёрке [math]\displaystyle{ (W,\;M_0,\;M_1,\;g_0,\;g_1) }[/math]).
Множество классов бордизмов [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерных многообразий образует абелеву группу [math]\displaystyle{ \Omega_n^O }[/math] относительно несвязного объединения, называемую группой бордизмов. Нулем в ней служит класс бордизмов, состоящих из многообразий, которые являются границей некоторого многообразия (другие названия: [math]\displaystyle{ M }[/math] — ограничивающее многообразие, [math]\displaystyle{ M }[/math] — внутренне гомологично, или бордантно нулю). Элементом [math]\displaystyle{ \Omega_n^O }[/math] обратным данному классу бордизмов, является сам этот класс (так как объединение двух копий [math]\displaystyle{ M }[/math] диффеоморфно границе прямого произведения [math]\displaystyle{ M\times [0,\;1] }[/math]). Прямая сумма [math]\displaystyle{ \Omega_*^O }[/math] групп [math]\displaystyle{ \Omega_n^O }[/math] является коммутативным градуированным кольцом, умножение в котором индуцировано прямым произведением многообразий, с единицей, заданной классом бордизмов точки.
Бордизмы с дополнительной структурой
Ориентированные бордизмы
Ориентированные бордизмы — наиболее простой тип бордизмов гладких замкнутых многообразий с дополнительной структурой. Два ориентированных многообразия [math]\displaystyle{ M }[/math] и [math]\displaystyle{ M' }[/math] ориентированно бордантны, если они бордантны в прежнем смысле, причём плёнка [math]\displaystyle{ W }[/math] ориентирована, и (в прежних обозначениях) ориентация, индуцированная ориентацией [math]\displaystyle{ W }[/math] на [math]\displaystyle{ M_0 }[/math] и [math]\displaystyle{ M_1 }[/math] (как на частях края), переходит при диффеоморфизмах [math]\displaystyle{ g_0 }[/math] и [math]\displaystyle{ g_1 }[/math], соответственно, в исходную ориентацию [math]\displaystyle{ M }[/math] и в ориентацию, противоположную исходной ориентации [math]\displaystyle{ M' }[/math]. Аналогично [math]\displaystyle{ \Omega_n^O }[/math], и [math]\displaystyle{ \Omega_*^O }[/math] вводятся группы ориентированных бордизмов [math]\displaystyle{ \Omega_n^{SO} }[/math] и кольцо [math]\displaystyle{ \Omega_*^{SO} }[/math].
Другие варианты
Другие варианты бордизмов многообразий с дополнительной структурой — очень важные бордизмы квазикомплексных многообразий (называемые также унитарными бордизмами), бордизмы многообразий, на которых действует группа преобразований, [math]\displaystyle{ \mathrm{Spin} }[/math]-бордизмы. Имеются также варианты несколько иного рода, для кусочно линейных или топологических многообразий, для комплексов Пуанкаре и т. д. Особое положение занимают бордизмы слоений и [math]\displaystyle{ h }[/math]-бордизмы (ранее называемые [math]\displaystyle{ J }[/math]-эквивалентностями); последние служат для связи дифференциальной и гомотопической топологии.
Свойства
- Два многообразия бордантны, тогда и только тогда, когда у них совпадают характеристические числа (числа Штифеля — Уитни в неориентируемом случае и числа Штифеля — Уитни и числа Понтрягина — в ориентируемом).
История
Первый пример — бордизм оснащённых многообразий, введённый в 1938 году Понтрягиным, который показал, что классификация этих бордизмов эквивалентна вычислению гомотопических групп сфер [math]\displaystyle{ \pi_i(S^n) }[/math], и таким путём смог найти [math]\displaystyle{ \pi_{n+1}(S^n) }[/math] и [math]\displaystyle{ \pi_{n+2}(S^n) }[/math]. Неориентированные и ориентированные бордизмы были введены в 1951—53 годах Рохлиным, вычислившим [math]\displaystyle{ \Omega_n^{SO} }[/math] для [math]\displaystyle{ n\leqslant4 }[/math]. Понтрягин доказал, что если два многообразия бордантны, то у них совпадают характеристические числа. Впоследствии оказалось, что обратное тоже верно.
Литература
- Милнор Дж., Уоллес А. Дифференциальная топология / Пер. с англ. — М.: Мир, 1972. — 280 с.