Инвариант Хопфа

Инвариант Хопфа — гомотопический инвариант отображений между сферами определённых размерностей. Предложен Хайнцем Хопфом в 1931 году.

Определение

Пусть [math]\displaystyle{ \varphi \colon S^{2n-1} \to S^n }[/math] — непрерывное отображение (предположим [math]\displaystyle{ n\gt 1 }[/math]). Рассмотрим CW-комплекс

[math]\displaystyle{ C_\varphi = S^n \cup_\varphi D^{2n}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ D^{2n} }[/math] есть [math]\displaystyle{ 2n }[/math]-мерный диск, приклеенный к [math]\displaystyle{ S^n }[/math] по отображению [math]\displaystyle{ \varphi }[/math]. Группы клеточных цепей [math]\displaystyle{ C^*_\mathrm{cell}(C_\varphi) }[/math] равны [math]\displaystyle{ \mathbb{Z} }[/math] в размерностях 0, [math]\displaystyle{ n }[/math] и [math]\displaystyle{ 2n }[/math], а иначе нули.

Обозначим образующие групп когомологий через

[math]\displaystyle{ H^n(C_\varphi) = \langle\alpha\rangle }[/math] и [math]\displaystyle{ H^{2n}(C_\varphi) = \langle\beta\rangle. }[/math]

По размерным соображениям все произведения между этими классами должны быть тривиальными, кроме возможно [math]\displaystyle{ \alpha \smile \alpha }[/math]. Таким образом, кольцо когомологий [math]\displaystyle{ C_\varphi }[/math] задаётся следующим образом

[math]\displaystyle{ H^*(C_\varphi) = \mathbb{Z}[\alpha,\beta]/\langle \beta\smile\beta = \alpha\smile\beta = 0, \alpha\smile\alpha=h(\varphi)\cdot\beta\rangle. }[/math]

Целое число [math]\displaystyle{ h(\varphi) }[/math] и является инвариантом Хопфа отображения [math]\displaystyle{ \varphi }[/math].

Свойства

• Отображение [math]\displaystyle{ h\colon\pi_{2n-1}(S^n)\to\mathbb{Z} }[/math] является гомоморфизмом.
  • Более того, если [math]\displaystyle{ n }[/math] чётно, то образ [math]\displaystyle{ h }[/math] содержит [math]\displaystyle{ 2\mathbb{Z} }[/math].

• Инвариант расслоений Хопфа равен [math]\displaystyle{ 1 }[/math], где [math]\displaystyle{ n=1,2,4,8 }[/math], соответственно, соответствует вещественным алгебрам с делением [math]\displaystyle{ \mathbb{A}=\mathbb{R},\mathbb{C},\mathbb{H},\mathbb{O} }[/math] и расслоению [math]\displaystyle{ S(\mathbb{A}^2)\to\mathbb{PA}^1 }[/math], направляющему направление на сферу в подпространство, которое она охватывает.
  • Более того, с точностью до гомотопической эквивалентности это единственные отображения с единичным инвариантом Хопфа. Эта теорема была доказана сначала Фрэнком Адамсом, а затем Адамсом и Майклом Атией методами топологической K-теории.

Литература

• Adams, J. Frank (1960), On the non-existence of elements of Hopf invariant one, Annals of Mathematics Т. 72 (1): 20–104, DOI 10.2307/1970147 
• Adams, J. Frank (1966), K-Theory and the Hopf Invariant, Quarterly Journal of Mathematics Т. 17 (1): 31–38, DOI 10.1093/qmath/17.1.31 
• Crabb. The geometric Hopf invariant (неопр.).
• Shokurov, A.V. (2001), Hopf invariant, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Математическая энциклопедия ХОПФА ИНВАРИАНТ