Операция (математика)

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис
(перенаправлено с «Алгебраическая операция»)

Опера́ция — отображение, ставящее в соответствие одному или нескольким элементам множества (аргументам) другой элемент (значение). Термин «операция» как правило применяется к арифметическим или логическим действиям, в отличие от термина «оператор», который чаще применяется к некоторым отображениям множества на себя, имеющим интересные для исследований свойства.

Определение

Операция [math]\displaystyle{ f }[/math] — отображение, областью определения которого является прямое произведение нескольких множеств. Математически операцию можно записать как отображение [math]\displaystyle{ f\colon D\subseteq\underbrace{A\times A\times\cdots \times A}_{n}\to B }[/math] ([math]\displaystyle{ B }[/math] и [math]\displaystyle{ A }[/math] могут совпадать), где [math]\displaystyle{ n }[/math] называется арностью операции[1].

Связанные определения

Операции различаются по количеству множеств, декартово произведение которых является её областью определения. Например, операция может быть унарная, если она отображает один элемент множества на один элемент множества, или бинарная, если сопоставляет двум элементам множества один элемент.

Алгебраической операцией называется операция [math]\displaystyle{ f }[/math], у которой область определения равна [math]\displaystyle{ n }[/math]декартовой степени некоторого множества [math]\displaystyle{ A, }[/math] где [math]\displaystyle{ n\in \mathbb{N}_0 }[/math] — арность, а область значений равна этому множеству [math]\displaystyle{ A, }[/math] то есть [math]\displaystyle{ f\colon A^n \to A }[/math][2].

Свойства

Операции могут обладать или не обладать различными свойствами. Например:

В совокупности коммутативность и антикоммутативность не исчерпывают свойства всех возможных операций: например, возведение в степень не является коммутативной операцией, так как, например, [math]\displaystyle{ 2^3\ne3^2, }[/math] но в то же время не является антикоммутативной: к примеру, [math]\displaystyle{ 2^4\ne{\color{Red}-}4^2. }[/math]

Операции

Арифметические

Сложение и вычитание являются элементарными арифметическими операциями. Все остальные, более сложные операции, получаются в результате гиперопераций. Так, сложение и вычитание относят к операциям первой ступени; умножение и деление — к операциям второй ступени; возведение в степень, извлечение корня и логарифмирование — к операциям третьей ступени; тетрация и её обратные операции являются редко используемыми операциями четвёртой ступени, однако такое гипероперирование можно продолжать бесконечно, вплоть до операций 5-й, 6-й и высших ступеней.

Математического анализа

Логические операции

Логические операции — операции над элементами из множества двух элементов: «истина» и «ложь», или «1» и «0».

  • Отрицание ([math]\displaystyle{ \neg A }[/math]) — унарная операция; преобразует «1» в «0», а «0» в «1».
  • Конъюнкция ([math]\displaystyle{ A \And B }[/math]) — бинарная операция; возвращает «1», только если оба аргумента «1».
  • Дизъюнкция ([math]\displaystyle{ A \lor B }[/math]) — бинарная операция; возвращает «0», только если оба аргумента «0».

Примечания

  1. Общая алгебра. Т.1 / О. В. Мельников, В. Н. Ремесленников, В.А. Романьков и др. Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. - 592 с. -(Справ. мат. б-ка). ISBN 5-02-014426-6 (Т.1)
  2. Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.

См. также