Диада

Диа́да — это специальный тензор второго ранга, внешнее произведение двух векторов. В компонентной записи диада имеет вид

[math]\displaystyle{ \ A_{ij} = a_i b_{j}, }[/math]

В бескоординатной форме

[math]\displaystyle{ \mathbf{A} = \mathbf{a} \otimes \mathbf{b} }[/math], либо просто [math]\displaystyle{ \mathbf{a b} }[/math]

Любой двухвалентный тензор можно разложить в сумму не более чем n диад, где n — размерность исходного линейного пространства, так как

[math]\displaystyle{ \begin{bmatrix} 0 & \dots & a_1 & \dots & 0 \\ 0 & \dots & a_2 & \dots & 0 \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0 & \dots & a_n & \dots & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \dots \\ a_n \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 0 & \dots & 1 & \dots & 0 \end{bmatrix} }[/math]

и любая матрица представима как сумма не более чем n таких «одностолбцовых» матриц.

Пример диады

Например, рассмотрим пару векторов

[math]\displaystyle{ \mathbf{A} = a \mathbf{i} + b \mathbf{j} }[/math]

и

[math]\displaystyle{ \mathbf{B} = c \mathbf{i} + d \mathbf{j}. }[/math]

Тогда тензорное произведение A и B равно

[math]\displaystyle{ \mathbf{A\otimes B} = a c \mathbf{i\otimes i} + a d \mathbf{i\otimes j} + b c \mathbf{j\otimes i} + b d \mathbf{j\otimes j} }[/math].

Оператор вращения

Двухвалентный тензор

[math]\displaystyle{ \mathbf{j\otimes i} - \mathbf{i\otimes j} }[/math] -

это оператор вращения плоскости на 90° (против часовой стрелки). Он действует слева от вектора и производит вращение:

[math]\displaystyle{ (\mathbf{j\otimes i} - \mathbf{i\otimes j}) \cdot (x \mathbf{i} + y \mathbf{j}) = x \mathbf{j (i} \cdot \mathbf{i)} - x \mathbf{i (j} \cdot \mathbf{i)} + y \mathbf{j (i} \cdot \mathbf{j)} - y \mathbf{i (j} \cdot \mathbf{j)} = -y \mathbf{i} + x \mathbf{j}. }[/math]

Использование диад

В физике

Как простейшие составляющие двухвалентных тензоров, диады нашли применение в кристаллофизике при описании симметрийных свойств кристаллов. Наибольшее развитие данный подход получил в так называемом ковариантном или бескоординатном методе, развиваемом белорусской школой теоретической физики.

Литература

• Кочин Н. Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. — 9-е изд. — М.: Наука, 1965. — 424  с.
• Димитриенко Ю. И. Тензорное исчисление. — М.: Высшая школа, 2001. — 575  с.