Дифференциальное исчисление над коммутативными алгебрами

Дифференциальное исчисление над коммутативными алгебрами — раздел коммутативной алгебры, возникший в семидесятых годах прошлого века.

Скалярные операторы

Пусть [math]\displaystyle{ \Bbbk }[/math] — поле, [math]\displaystyle{ A }[/math] — алгебра над полем [math]\displaystyle{ \Bbbk }[/math], коммутативная и с единицей и [math]\displaystyle{ \Delta\colon A\to A }[/math] — [math]\displaystyle{ \Bbbk }[/math]-линейное отображение, [math]\displaystyle{ \Delta\in\mathrm{Hom}_\Bbbk(A,A) }[/math]. Всякий элемент алгебры [math]\displaystyle{ a\in A }[/math] можно понимать как оператор умножения: [math]\displaystyle{ a(b)=ab,\ b\in A }[/math]. Операторы [math]\displaystyle{ a }[/math] и [math]\displaystyle{ \Delta }[/math], вообще говоря, не коммутируют и равенство [math]\displaystyle{ a\circ\Delta-\Delta\circ a=[a,\Delta]=0 }[/math] будет выполняться в том и только том случае, когда [math]\displaystyle{ \Delta }[/math] — [math]\displaystyle{ A }[/math]-гомоморфизм.

Определение 1. [math]\displaystyle{ \Delta\in\mathrm{Hom}_\Bbbk(A,A) }[/math] называется дифференциальным оператором (ДО) порядка [math]\displaystyle{ \le n }[/math] из [math]\displaystyle{ A }[/math] в [math]\displaystyle{ A }[/math], если для любых [math]\displaystyle{ a_0,\dots,a_n\in A }[/math]

[math]\displaystyle{ [a_n,[a_{n-1},[\ldots[a_0,\Delta]\ldots]]]=0. }[/math]

Множество всех ДО порядка [math]\displaystyle{ \le n }[/math] из [math]\displaystyle{ A }[/math] в [math]\displaystyle{ A }[/math] обозначается [math]\displaystyle{ \mathrm{Diff}_nA }[/math]. Сумма двух ДО порядка [math]\displaystyle{ \le n }[/math] будет снова ДО порядка [math]\displaystyle{ \le n }[/math] и множество [math]\displaystyle{ \mathrm{Diff}_nA }[/math] устойчиво относительно как левого, так и правого умножения на элементы алгебры [math]\displaystyle{ A }[/math], поэтому оно снабжается естественной структурой бимодуля над [math]\displaystyle{ A }[/math].

Дифференцирования

Точками алгебры [math]\displaystyle{ A }[/math] называются [math]\displaystyle{ \Bbbk }[/math]-гомоморфизмы из [math]\displaystyle{ A }[/math] в [math]\displaystyle{ \Bbbk }[/math]. Обозначим множество всех точек алгебры [math]\displaystyle{ A }[/math], снабженное топологией Зарисского, через [math]\displaystyle{ \vert A\vert }[/math]. Элементы алгебры [math]\displaystyle{ A }[/math] можно понимать как функции на пространстве [math]\displaystyle{ \vert A\vert }[/math], положив [math]\displaystyle{ a(z)=z(a),\ z\in\vert A\vert }[/math].

Определение 2. Отображение [math]\displaystyle{ \Delta_z\colon A\to \Bbbk }[/math] называется касательным вектором к пространству [math]\displaystyle{ \vert A\vert }[/math] в~точке [math]\displaystyle{ z\in \vert A\vert }[/math], если оно удовлетворяет правилу Лейбница в этой точке:

[math]\displaystyle{ \Delta_z(fg)=f(z)\Delta_z(g)+g(z)\Delta_z(f),\quad f,g\in A. }[/math]

Множество [math]\displaystyle{ T_z\vert A\vert }[/math] всех касательных векторов в~точке [math]\displaystyle{ z\in \vert A\vert }[/math] обладает естественной структурой векторного пространства над [math]\displaystyle{ \Bbbk }[/math]. Оно называется касательным пространством пространства [math]\displaystyle{ \vert A\vert }[/math] в точке [math]\displaystyle{ z }[/math].

Определение 3. Отображение [math]\displaystyle{ \Delta\colon A\to A }[/math] называется дифференцированием алгебры [math]\displaystyle{ A }[/math] со значениями в [math]\displaystyle{ A }[/math], если оно удовлетворяет правилу Лейбница:

[math]\displaystyle{ \Delta(fg)=f\Delta(g)+g\Delta(f),\quad f,g\in A. }[/math]

Множество [math]\displaystyle{ D(A) }[/math] всех дифференцирований алгебры [math]\displaystyle{ A }[/math] со значениями в [math]\displaystyle{ A }[/math] обладает естественной структурой левого [math]\displaystyle{ A }[/math]-модуля. (Правое умножение не сохраняет это множество.) Всякое дифференцирование [math]\displaystyle{ \Delta }[/math] определяет семейство касательных векторов [math]\displaystyle{ \Delta_z }[/math] для всех точек [math]\displaystyle{ z\in\vert A\vert }[/math]: [math]\displaystyle{ \Delta_z(f)=(\Delta(f))(z) }[/math].

Дифференцирования, естественно, являются ДО порядка [math]\displaystyle{ \le 1 }[/math]:

[math]\displaystyle{ D(A)= \{\Delta\in \mathrm{Diff}_1A\ \vert\ \Delta(k)=0\ \forall k\in\Bbbk\} }[/math].

Определен естественный изоморфизм левых [math]\displaystyle{ A }[/math]-модулей

[math]\displaystyle{ \mathrm{Diff}_1A=D(A)+A. }[/math]

Гладкие функции

Если [math]\displaystyle{ A=C^\infty(M) }[/math] — алгебра гладких функций на многообразии [math]\displaystyle{ M }[/math], то [math]\displaystyle{ \vert C^\infty(M)\vert }[/math] естественным образом наделяется структурой гладкого многообразия и оказывается, что [math]\displaystyle{ \vert C^\infty(M)\vert=M }[/math].

Теорема. Пусть [math]\displaystyle{ \Delta\in\mathrm{Diff}_lA,\ \nabla\in \mathrm{D}(A) }[/math] и [math]\displaystyle{ x_1,\dots,x_n }[/math] — система локальных координат в некоторой окрестности [math]\displaystyle{ U\subset M }[/math]. Тогда ограничения [math]\displaystyle{ \Delta }[/math] и [math]\displaystyle{ \nabla }[/math] на [math]\displaystyle{ U }[/math] могут быть записаны в следующем виде

[math]\displaystyle{ \nabla\big|_U=\sum_{i=0}^n\alpha_i\dfrac{\partial}{\partial x_i},\quad \alpha_i\in C^\infty (U) }[/math]

[math]\displaystyle{ \Delta\big|_U=\sum_{|\sigma|=0}^l\alpha_\sigma\dfrac{\partial^{|\sigma|}}{\partial x^\sigma},\quad \alpha_\sigma\in C^\infty (U) }[/math]

Иными словами, для алгебры гладких функций на М "алгебраическое" определение ДО совпадает с классическим, а дифференцирования алгебры [math]\displaystyle{ C^\infty(M) }[/math] — это векторные поля на [math]\displaystyle{ M }[/math].

Общий случай

Пусть [math]\displaystyle{ P,\ Q }[/math] — модули над [math]\displaystyle{ A }[/math]. Определения 1 и 3 без изменений переносятся на этот случай:

Определение 4. [math]\displaystyle{ \Bbbk }[/math]-гомоморфизм [math]\displaystyle{ \Delta\colon Q\to P }[/math] называется линейным дифференциальным оператором порядка [math]\displaystyle{ \le n }[/math] из [math]\displaystyle{ Q }[/math] в~[math]\displaystyle{ P }[/math], если для любых [math]\displaystyle{ a_0,\dots,a_n\in A }[/math]

[math]\displaystyle{ [a_n,[a_{n-1},[\ldots[a_0,\Delta]\ldots]]]=0 }[/math]

Определение 5. Отображение [math]\displaystyle{ \Delta\colon A\to A }[/math] называется дифференцированием алгебры [math]\displaystyle{ A }[/math] со значениями в [math]\displaystyle{ P }[/math], если оно удовлетворяет правилу Лейбница:

[math]\displaystyle{ \Delta(fg)=f\Delta(g)+g\Delta(f),\quad f,g\in A. }[/math]

Множество [math]\displaystyle{ \mathrm{Diff}_n(P,Q) }[/math] всех ДО порядка [math]\displaystyle{ \le n }[/math] из [math]\displaystyle{ Q }[/math] в [math]\displaystyle{ P }[/math] является бимодулем над [math]\displaystyle{ A }[/math], а множество [math]\displaystyle{ \mathrm{D}(P) }[/math] всех дифференцирований [math]\displaystyle{ A }[/math] в [math]\displaystyle{ P }[/math] — левым [math]\displaystyle{ A }[/math]-модулем.

Если [math]\displaystyle{ A=C^\infty(M) }[/math] — алгебра гладких функций на многообразии [math]\displaystyle{ M }[/math], то проективные конечнопорождённые [math]\displaystyle{ A }[/math]-модули есть не что иное, как модули сечений конечномерных векторных расслоений над [math]\displaystyle{ M }[/math]. В этом случае определение 4 описывает ДО на векторнозначных функциях, переводящие их в векторнозначные функции, а определение 5 — векторнозначные векторные поля.

Представляющие объекты и геометризация

Функторы [math]\displaystyle{ \mathrm{Diff}_n(P,\quad) }[/math] и [math]\displaystyle{ \mathrm{D}=\mathrm{D}(\quad) }[/math] представимы:

Теорема. 1. Существуют единственные [math]\displaystyle{ A }[/math]-модуль [math]\displaystyle{ \Lambda }[/math] и дифференцирование [math]\displaystyle{ d\colon A\to\Lambda }[/math], такие, что для любого [math]\displaystyle{ A }[/math]-модуля [math]\displaystyle{ Q }[/math] имеет место естественный изоморфизм

[math]\displaystyle{ \mathrm{D}(Q)=\mathrm{Hom}_A(\Lambda,Q),\quad \mathrm{Hom}_A(\Lambda,Q)\ni h \leftrightarrow h\circ d\in \mathrm{D}(Q). }[/math]

2. Существуют единственные [math]\displaystyle{ A }[/math]-модуль [math]\displaystyle{ \mathcal{J}^n(P) }[/math] и ДО [math]\displaystyle{ j_n\colon P\to \mathcal{J}^n(P) }[/math] порядка [math]\displaystyle{ \le n }[/math], такие, что для любого [math]\displaystyle{ A }[/math]-модуля [math]\displaystyle{ Q }[/math] имеет место естественный изоморфизм

[math]\displaystyle{ \mathrm{Diff}_n(P,Q)=\mathrm{Hom}_A(\mathcal{J}^n(P),Q),\quad \mathrm{Hom}_A(\mathcal{J}^n(P),Q)\ni h \leftrightarrow h\circ j_n\in \mathrm{Diff}_n(P,Q). }[/math]

Дифференцирование [math]\displaystyle{ d }[/math] и ДО [math]\displaystyle{ j_n }[/math] называются универсальным дифференцированием и универсальным ДО порядка [math]\displaystyle{ \le n }[/math] соответственно, а модули [math]\displaystyle{ \Lambda }[/math] и [math]\displaystyle{ \mathcal{J}^n(P) }[/math] — модулем дифференциальных форм первого порядка и модулем джетов порядка [math]\displaystyle{ n }[/math]. (Иногда вместо термина "джет" употребляют термин "струя".)

Модули [math]\displaystyle{ \mathcal{J}^n(P) }[/math] и [math]\displaystyle{ \Lambda }[/math] довольно просто описываются "на пальцах". Именно, [math]\displaystyle{ A }[/math]-модуль [math]\displaystyle{ \mathcal{J}^n(P) }[/math] порожден всевозможными элементами вида [math]\displaystyle{ j_n(p),\ p\in P }[/math], для которых выполнены следующие соотношения:

[math]\displaystyle{ j_n(kp)=kj_n(p)\ \forall k\in\Bbbk,\ p\in P }[/math],

[math]\displaystyle{ \big([a_n,[a_{n-1},[\ldots[a_0,j_n]\ldots]]]\big)(p)=0\ \forall p\in P,\ a_0,\dots,a_n\in A }[/math],

где [math]\displaystyle{ \big([a_0,j_n]\big)(p)=a_0j_n(p)-j_n(a_0p),\quad \big([a_1[a_0,j_n]]\big)(p)=a_1a_0j_n(p)-a_1j_n(a_0p)-a_0j_n(a_1p)+j_n(a_1a_0p) }[/math], и так далее.

Аналогично, [math]\displaystyle{ A }[/math]-модуль [math]\displaystyle{ \Lambda }[/math] порожден всевозможными элементами вида [math]\displaystyle{ da,\ a\in A }[/math], для которых выполнены следующие соотношения:

[math]\displaystyle{ d(ka)=kda\ \forall k\in\Bbbk,\ a\in A }[/math],

[math]\displaystyle{ d(ab)=adb+bda\ \forall a,b\in A }[/math].

Естественно было бы и здесь ожидать, что для алгебры [math]\displaystyle{ A=C^\infty(M) }[/math] дифференциальные формы окажутся "обычными" дифференциальными формами на многообразии [math]\displaystyle{ M }[/math], а джеты — "обычными" джетами, но это не так. Причиной тому является существование в алгебраических конструкциях невидимых элементов, то есть ненулевых элементов, которые, тем не менее, равны нулю в каждой точке многообразия [math]\displaystyle{ M }[/math]. Например, пусть [math]\displaystyle{ M=\R^1 }[/math], дифференциальная форма [math]\displaystyle{ e^xdx-de^x\in \Lambda }[/math] отлична от нуля, но [math]\displaystyle{ (e^xdx-de^x)\big|_z=0\ \forall z\in \R^1 }[/math]. Модули над [math]\displaystyle{ C^\infty(M) }[/math], не содержащие невидимых элементов, называют геометрическими. Для любого [math]\displaystyle{ C^\infty(M) }[/math]-модуля [math]\displaystyle{ S }[/math] множество всех невидимых элементов образует подмодуль, фактор по которому является геометрическим модулем и обозначается [math]\displaystyle{ G(S) }[/math]. Модули [math]\displaystyle{ G(\Lambda) }[/math] и [math]\displaystyle{ G(\mathcal{J}^n(P)) }[/math], где [math]\displaystyle{ P }[/math] — геометрический модуль, будут представляющими объектами для функторов [math]\displaystyle{ \mathrm{D} }[/math] и [math]\displaystyle{ \mathrm{Diff}_n(P,\quad) }[/math] в категории геометрических модулей над [math]\displaystyle{ A=C^\infty(M) }[/math]. Они оказываются изоморфными модулю "обычных" дифференциальных форм и модулю "обычных" джетов соответственно.

Градуированные алгебры

Эта теория легко переносятся на случай градуированных алгебр (в старой терминологии — супералгебр), где, в частности, дает новый взгляд на такие конструкции, как интегральные формы и интеграл Березина.

Приложения

Тот факт, что дифференциальное исчисление является разделом коммутативной алгебры, интересен сам по себе и тесно связан с одним из важнейших физических понятий --- понятием наблюдаемой. Инвариантные алгебраические конструкции позволяют работать там, где классический координатный подход слишком громоздок, или вообще невозможен, например в случае многообразий с особенностями или бесконечномерных. Они используются в гамильтоновой и лагранжевой механике, теории законов сохранения, вторичном исчислении, не говоря уже об алгебраической и дифференциальной геометрии.

Историческая справка

Определение ДО в категории модулей над коммутативными алгебрами появилось, независимо друг от друга, в работах П. Габриеля^[1], С. Судзуки^[2] и А. М. Виноградова^[3]. Однако всю важность алгебраического подхода к ДО, видимо, осознал только А. М. Виноградов и основной вклад в развитие этой теории внесен им и его учениками.

См. также

Примечания

↑ P. Gabriel, Construction de préschémas-quotients (d’après Grothendieck A.), Généralités sur les groupes algébriques, Étude infinitésimale des schémas en groupes, SGA3 Schémas en groupes, Séminaire de Géométrie algébrique du Bois Marie (1962-1964), Lect. Notes in Math. 151, Springer (1970), 251-286, 287-317, 411-562.
↑ Satoshi Suzuki, Differentials of commutative rings, Queen's University papers in pure and applied mathematics, 29, Queen's University, Kingston, 1971.
↑ А. М. Виноградов, Алгебра логики теории линейных дифференциальных операторов Архивная копия от 12 декабря 2021 на Wayback Machine, ДАН 205:5 (1972), 1025-1028.

Литература

Джет Неструев, Гладкие многообразия и наблюдаемые, МЦНМО, Москва, 2000.
А. М. Виноградов, И. С. Красильщик, Что такое гамильтонов формализм? // Успехи математических наук. — 1975. — Т. 30, выпуск 1(181), — стр. 173–198.
А. М. Виноградов, И. С. Красильщик, В. В. Лычагин, Введение в геометрию нелинейных дифференциальных уравнений, Глава 1. Линейные дифференциальные операторы в коммутативных алгебрах М., Наука, 1986.
А. М. Виноградов, Некоторые гомологические системы, связанные с дифференциальным исчислением в коммутативных алгебрах // Успехи математических наук. — 1979. — Т. 34, выпуск 6(210), — стр. 145–150.
I. S. Krasil’shchik, Lectures on Linear Differential Operators over Commutative Algebras. Eprint DIPS-01/98
Algebraic aspects of differential calculus, edited by Joseph Krasil'shchik and Alexandre Vinogradov, — Special Issue of Acta Applicandae Mathematicae, Volume 49, Issue 3, December 1997, 321 pages, ISSN: 0167-8019. (Статьи этого выпуска по отдельности доступны в электронном виде: DIPS-01/96, DIPS-02/96, DIPS-03/96, DIPS-04/96, DIPS-05/96, DIPS-06/96, DIPS-07/96, DIPS-08/96).
I. S. Krasil’shchik, A. M. Verbovetsky, Homological Methods in Equations of Mathematical Physics, Open Ed. and Sciences, Opava (Czech Rep.), 1998; Eprint arXiv:math/9808130v2.
Alexandre M. Vinogradov, Logic of differential calculus and the zoo of geometric strujctures, arXiv:1511.06861.
A. M. Vinogradov, Cohomological Analysis of Partial Differential Equations and Secondary Calculus, — AMS "Translation of Mathematical Monographs" series, vol. 204, 247 pages, 2001.

[1] P. Gabriel, Construction de préschémas-quotients (d’après Grothendieck A.), Généralités sur les groupes algébriques, Étude infinitésimale des schémas en groupes, SGA3 Schémas en groupes, Séminaire de Géométrie algébrique du Bois Marie (1962-1964), Lect. Notes in Math. 151, Springer (1970), 251-286, 287-317, 411-562.

[2] Satoshi Suzuki, Differentials of commutative rings, Queen's University papers in pure and applied mathematics, 29, Queen's University, Kingston, 1971.

[3] А. М. Виноградов, Алгебра логики теории линейных дифференциальных операторов Архивная копия от 12 декабря 2021 на Wayback Machine, ДАН 205:5 (1972), 1025-1028.

[1]

[2]

[3]