Дифракция Френеля
Дифра́кция Френе́ля — дифракционная картина, которая наблюдается на небольшом расстоянии от препятствия, по условиям, когда основной вклад в интерференционную картину дают границы экрана.
| Дифракция Френеля:
[math]\displaystyle{ F = \frac{\rho^2}{z\lambda} \geqslant 1 }[/math] |
| Дифракция Фраунгофера:
[math]\displaystyle{ F = \frac{\rho^2}{z\lambda} \ll 1 }[/math] |
На рисунке схематично изображён (слева) непрозрачный экран с круглым отверстием (апертура), слева от которого расположен источник света. Изображение фиксируется на другом экране — справа. Вследствие дифракции свет, проходящий через отверстие, расходится, поэтому область, которая была затемнена по законам геометрической оптики, будет частично освещённой. В области, которая при прямолинейном распространении света была бы освещённой, наблюдаются колебания интенсивности освещения в виде концентрических колец.
Дифракционная картина для дифракции Френеля зависит от расстояния между экранами и от расположения источников света. Её можно рассчитать, считая, что каждая точка на границе апертуры излучает сферическую волну по принципу Гюйгенса. В точках наблюдения на втором экране волны или усиливают друг друга, или гасятся в зависимости от разности хода.
Интеграл Френеля
В скалярной теории дифракции распределение электрического поля дифрагирующего света в точке (x,y,z) задаётся выражением Релея-Зоммерфельда:
- [math]\displaystyle{ E(x,y,z)=-{i \over \lambda} \iint_{-\infty}^{+\infty}{ E(x',y',0) \frac{e^{ikr}}{r} \cos \theta}dx'dy' }[/math]
где [math]\displaystyle{ r=\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+z^2} }[/math], [math]\displaystyle{ i }[/math] — мнимая единица, и [math]\displaystyle{ \cos \theta = \frac{z}{r} }[/math] — косинус угла между направлениями z и r. В аналитическом виде этот интеграл представим только для простейших геометрий отверстий, поэтому он вычисляется обычно численными методами.
Аппроксимация Френеля
Главная трудность при вычислении интеграла представляет собой выражение для r. Во-первых, упростим вычисления, сделав замену переменных:
- [math]\displaystyle{ \rho^2 = (x-x')^2+(y-y')^2 }[/math]
Подставляя это выражение вместо r, найдём:
- [math]\displaystyle{ r= \sqrt{\rho^2+z^2} = z \sqrt{ 1 + \frac{\rho^2}{z^2} } }[/math]
Воспользуемся разложением Тейлора в ряд
- [math]\displaystyle{ \sqrt{1+u} = (1+u)^{1/2} = 1 + \frac{u}{2} - \frac{u^2}{8} + \cdots }[/math]
и выразим r в виде
- [math]\displaystyle{ r = z \sqrt{ 1 + \frac{\rho^2}{z^2} } = z \left[ 1 + \frac{\rho^2}{2 z^2} - \frac{1}{8} \left( \frac{\rho^2}{z^2} \right)^2 + \cdots \right] = z + \frac{\rho^2}{2 z} - \frac{\rho^4}{8z^3} + \cdots }[/math]
Если мы рассмотрим все члены разложения, это будет точным выражением[1]. Подставим это выражение в аргумент экспоненциальной функции под интегралом; ключевую роль в приближении Френеля играет пренебрежение третьим членом в разложении, который предполагается малым. Чтобы это было возможным, он должен слабо влиять на показатель степени. Другими словами, он должен быть намного меньше, чем период показателя экспоненты, то есть [math]\displaystyle{ 2 \pi }[/math]:
- [math]\displaystyle{ k \frac{\rho^4}{8 z^3} \ll 2 \pi. }[/math]
Выражая k в терминах длины волны,
- [math]\displaystyle{ k = { 2 \pi \over \lambda } }[/math]
получим следующее соотношение:
- [math]\displaystyle{ \frac{\rho^4}{z^3 \lambda} \ll 8 }[/math]
Умножая обе стороны на [math]\displaystyle{ z/\lambda }[/math], получим
- [math]\displaystyle{ \frac{\rho^4}{z^2 \lambda^2} \ll 8 {z \over \lambda} }[/math]
или, подставляя ранее полученное выражение для ρ2,
- [math]\displaystyle{ \frac{[(x-x')^2+(y-y')^2]^2}{z^2 \lambda^2} \ll 8 {z \over \lambda} }[/math]
Если это условие выполняется для всех значений x, x' , y и y' , тогда мы можем пренебречь третьим членом в разложении Тейлора. Более того, если третий член мал, то все последующие слагаемые более высоких порядков тоже малы, и ими можно пренебречь. Тогда можно аппроксимировать выражение, используя два члена разложения:
- [math]\displaystyle{ r \approx z + \frac{(x-x')^2 +(y-y')^2}{2 z} }[/math]
Это выражение называется приближением Френеля, а неравенство, полученное ранее, есть условие применимости этого приближения.
Дифракция Френеля
Условие применимости достаточно слабо и позволяет все характерные размеры взять как сравнимые величины, если апертура много меньше, чем длина пути. К тому же, так как нас интересует только малая область недалеко от источника, величины x и y много меньше, чем z, предположим [math]\displaystyle{ \theta \approx 0 }[/math], что означает [math]\displaystyle{ \cos \theta \approx 1 }[/math], и r в знаменателе можно аппроксимировать выражением [math]\displaystyle{ r \approx z }[/math].
В противоположность дифракции Фраунгофера, дифракция Френеля должна учитывать кривизну волнового фронта, чтобы правильно учесть относительные фазы интерферирующих волн.
Электрическое поле для дифракции Френеля в точке (x,y,z) дано в виде:
- [math]\displaystyle{ E(x,y,z)=-{i \over \lambda}{e^{ikz} \over z}\iint_{-\infty}^{+\infty} E(x',y',0)e^{{ik \over 2z}[(x-x')^2+(y-y')^2]}dx'dy' }[/math]
Это - интеграл дифракции Френеля; он означает, что, если приближение Френеля действительно, распространяющееся поле - волна, начинающаяся в апертуре и движущаяся вдоль z. Интеграл модулирует амплитуду и фазу сферической волны. Аналитическое решение этого выражения возможно только в редких случаях. Для дальнейшего упрощения, действительного только для намного больших расстояний от источника дифракции, см. дифракция Фраунгофера.
См. также
Примечания
- ↑ Приближение однако было в предыдущем шаге, когда мы предположили, что [math]\displaystyle{ e^{i k r}/r }[/math] реальная волна. В действительности не существует действительного решения векторного уравнения Гельмгольца, только для скалярного. См. скалярное волновое приближение
Литература
- Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 512 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7.
- Сивухин Д. В. Общий курс физики. — М.. — Т. IV. Оптика.