Дискретное вейвлет-преобразование

В численном и функциональном анализе дискретные вейвлет-преобразования (ДВП) относятся к вейвлет-преобразованиям, в которых вейвлеты представлены дискретными сигналами (выборками).

Первое ДВП было придумано венгерским математиком Альфредом Хааром. Для входного сигнала, представленного массивом 2ⁿ чисел, вейвлет-преобразование Хаара просто группирует элементы по 2 и образует от них суммы и разности. Группировка сумм проводится рекурсивно для образования следующего уровня разложения. В итоге получается 2ⁿ−1 разность и 1 общая сумма.

Это простое ДВП иллюстрирует общие полезные свойства вейвлетов. Во-первых, преобразование можно выполнить за [math]\displaystyle{ n \log_2(n) }[/math] операций. Во-вторых, оно не только раскладывает сигнал на некоторое подобие частотных полос (путём анализа его в различных масштабах), но и представляет временную область, то есть моменты возникновения тех или иных частот в сигнале. Вместе эти свойства характеризуют быстрое вейвлет-преобразование — возможную альтернативу обычному быстрому преобразованию Фурье. При принятии условия случайности сигнала Х спектральную плотность его амплитуд Y вычисляют на основе алгоритма Ийетса: matrixY=matrix(±X), верно и обратное matrixX=matrix(±Y).

Самый распространенный набор дискретных вейвлет-преобразований был сформулирован бельгийским математиком Ингрид Добеши (Ingrid Daubechies) в 1988 году. Он основан на использовании рекуррентных соотношений для вычисления всё более точных выборок неявно заданной функции материнского вейвлета с удвоением разрешения при переходе к следующему уровню (масштабу). В своей основополагающей работе Добеши выводит семейство вейвлетов, первый из которых является вейвлетом Хаара. С тех пор интерес к этой области быстро возрос, что привело к созданию многочисленных потомков исходного семейства вейвлетов Добеши.

Другие формы дискретного вейвлет-преобразования включают непрореженное вейвлет-преобразование (где не выполняется прореживания сигналов), преобразование Ньюлэнда (где ортонормированный базис вейвлетов выводится из специальным образом построенных фильтров типа «top-hat» в частотной области). Пакетные вейвлет-преобразования также связаны с ДВП. Другая форма ДВП — комплексное вейвлет-преобразование.

У дискретного вейвлет-преобразования много приложений в естественных науках, инженерном деле, математике (включая прикладную). Наиболее широко ДВП используется в кодировании сигналов, где свойства преобразования используются для уменьшения избыточности в представлении дискретных сигналов, часто — как первый этап в компрессии данных.

Определение

Один уровень преобразования

ДВП сигнала [math]\displaystyle{ x }[/math] получают применением набора фильтров. Сначала сигнал пропускается через низкочастотный (low-pass) фильтр с импульсным откликом [math]\displaystyle{ g }[/math], и получается свёртка:

[math]\displaystyle{ y[n] = (x * g)[n] = \sum\limits_{k = - \infty }^\infty {x[k] g[n - k]} }[/math]

Одновременно сигнал раскладывается с помощью высокочастотного (high-pass) фильтра [math]\displaystyle{ h }[/math]. В результате получаются детализирующие коэффициенты (после ВЧ-фильтра) и коэффициенты аппроксимации (после НЧ-фильтра). Эти два фильтра связаны между собой и называются квадратурными зеркальными фильтрами (QMF).

Так как половина частотного диапазона сигнала была отфильтрована, то, согласно теореме Котельникова, отсчёты сигналов можно проредить в 2 раза:

[math]\displaystyle{ y_{\mathrm{low}} [n] = \sum\limits_{k = - \infty }^\infty {x[k] g[2n - k]} }[/math]

[math]\displaystyle{ y_{\mathrm{high}} [n] = \sum\limits_{k = - \infty }^\infty {x[k] h[2n - k]} }[/math]

Такое разложение вдвое уменьшило разрешение по времени в силу прореживания сигнала. Однако каждый из получившихся сигналов представляет половину частотной полосы исходного сигнала, так что частотное разрешение удвоилось.

С помощью оператора прореживания [math]\displaystyle{ \downarrow }[/math]

[math]\displaystyle{ (y \downarrow k)[n] = y[k n] }[/math]

вышеупомянутые суммы можно записать короче:

[math]\displaystyle{ y_{\mathrm{low}} = (x*g)\downarrow 2 }[/math]

[math]\displaystyle{ y_{\mathrm{high}} = (x*h)\downarrow 2 }[/math]

Вычисление полной свёртки [math]\displaystyle{ x*g }[/math] с последующим прореживанием — это излишняя трата вычислительных ресурсов.

Схема лифтинга является оптимизацией, основанной на чередовании этих двух вычислений.

Каскадирование и банки фильтров

Это разложение можно повторить несколько раз для дальнейшего увеличения частотного разрешения с дальнейшим прореживанием коэффициентов после НЧ и ВЧ-фильтрации. Это можно представить в виде двоичного дерева, где листья и узлы соответствуют пространствам с различной частотно-временной локализацией. Это дерево представляет структуру банка (гребёнки) фильтров.

На каждом уровне вышеприведённой диаграммы сигнал раскладывается на низкие и высокие частоты. В силу двукратного прореживания длина сигнала должна быть кратна [math]\displaystyle{ 2^n }[/math], где [math]\displaystyle{ n }[/math] — число уровней разложения.

Например, для сигнала из 32 отсчётов с частотным диапазоном от 0 до [math]\displaystyle{ f_n }[/math] трёхуровневое разложение даст 4 выходных сигнала в разных масштабах:

Уровень	Частоты	Длина сигнала
3	[math]\displaystyle{ 0 }[/math] … [math]\displaystyle{ {{f_n}}/8 }[/math]	4
3	[math]\displaystyle{ {{f_n}}/8 }[/math] … [math]\displaystyle{ {{f_n}}/4 }[/math]	4
2	[math]\displaystyle{ {{f_n}}/4 }[/math] … [math]\displaystyle{ {{f_n}}/2 }[/math]	8
1	[math]\displaystyle{ {{f_n}}/2 }[/math] … [math]\displaystyle{ f_n }[/math]	16

Пример программы

Алгоритм Хаара

Пример быстрого одномерного вейвлет-преобразования, используя вейвлет Хаара, для массива исходных данных размером 2^N (число каскадов фильтров, соответственно, равно N) на языке C#:

public static List<Double> DirectTransform(List<Double> SourceList)
        {
            if (SourceList.Count == 1)
                return SourceList;

            List<Double> RetVal = new List<Double>();
            List<Double> TmpArr = new List<Double>();

            for (int j = 0; j < SourceList.Count - 1; j+=2)
            {
                RetVal.Add((SourceList[j] - SourceList[j + 1]) / 2.0);
                TmpArr.Add((SourceList[j] + SourceList[j + 1]) / 2.0);
            }

            RetVal.AddRange(DirectTransform(TmpArr));

            return RetVal;
        }

Аналогично, пример обратного вейвлет-преобразования:

public static List<Double> InverseTransform(List<Double> SourceList)
        {
            if (SourceList.Count == 1)
                return SourceList;

            List<Double> RetVal = new List<Double>();
            List<Double> TmpPart = new List<Double>();

            for (int i = SourceList.Count / 2; i < SourceList.Count; i++)
                TmpPart.Add(SourceList[i]);

            List<Double> SecondPart = InverseTransform(TmpPart);
            
            for (int i = 0; i < SourceList.Count / 2; i++)
            {
                RetVal.Add(SecondPart[i] + SourceList[i]);
                RetVal.Add(SecondPart[i] - SourceList[i]);
            }

            return RetVal;
        }

Двумерное вейвлет-преобразование

При разработке нового стандарта JPEG-2000 для сжатия изображения было выбрано вейвлет-преобразование. Само вейвлет-преобразование не сжимает данные, но позволяет таким образом преобразовать входное изображение, что без заметного ухудшения качества изображения можно сократить его избыточность.

См. также

Непрерывное вейвлет-преобразование

Примечания

↑ Схемы на русском

Литература

Stéphane Mallat. A Wavelet Tour of Signal Processing
Захаров С. И., Холмская А. Г. Повышение эффективности обработки сигналов вибрации и шума при испытаниях механизмов // Вестник машиностроения : журнал. — М.: Машиностроение, 2001. — № 10. — С. 31—32. — ISSN 0042-4633.

Ссылки

Сенсор виброакустики и вибродиагностики изделий: пат № 95116U1, МПК G 01 H 1/08.
Fast discrete biorthogonal CDF 9/7 wavelet forward and inverse transform (lifting implementation) — реализация на Си для быстрого лифтинга дискретного биортогонального CDF 9/7 вейвлета, используемого в алгоритме сжатия изображений JPEG-2000.
Новая тенденция в преобразовании данных от датчиков механических и физических величин. М: Машиностроение//Вестник машиностроения,2004, № 4,стр.78.
Юэн Ч., Бичем К., Робинсон Дж. Микро-процессорные системы и их применение при обработке сигналов. М: Радио и связь.1986. 296 с.
Дхонсон Н., Лион Ф. Статистика и планирование экспериментов в технике и науке. Методы планирования экспериментов. М: Мир. 1981. 512 с.
Брох Е. Т. Применение измерительных систем фирмы «Брюль и Къер» к анализу механических колебаний и ударов. Сёборг; Ларсен и сын. 1973. 235 с.
Буте П.-А. Измерение ударных (шоковых) импульсов. Новый метод контроля состояния подшипников качения в процессе эксплуатации. Доклад. Фирма SKF. 1971. 7с.
Харкевич А. А. Спектры и анализ. М: Физматгиз.1963. 432 с.

[1] Схемы на русском

[1]