Дебаевская длина

Деба́евская длина (дебаевский радиус) — расстояние, на которое распространяется действие электрического поля отдельного заряда в квазинейтральной среде, содержащей свободные положительно и отрицательно заряженные частицы (плазма, электролиты). Вне сферы радиуса дебаевской длины электрическое поле экранируется в результате поляризации окружающей среды (поэтому это явление ещё называют экранировкой Дебая).

Дебаевская длина определяется формулой

[math]\displaystyle{ \lambda_\text{D} = \left\{ \sum_j \frac{4 \pi q^2_j n_j}{\varepsilon_rkT_j} \right\}^{-1/2} }[/math] (СГС),

[math]\displaystyle{ \lambda_\text{D} = \left\{ \sum_j \frac{q^2_j n_j }{\varepsilon_0 \varepsilon_r kT_j} \right\}^{-1/2} }[/math] (СИ),

где [math]\displaystyle{ q_j }[/math] — электрический заряд, [math]\displaystyle{ n_j }[/math] — концентрация частиц, [math]\displaystyle{ T_j }[/math] — температура частиц типа [math]\displaystyle{ j }[/math], [math]\displaystyle{ k }[/math] — постоянная Больцмана, [math]\displaystyle{ \varepsilon_0 }[/math] — диэлектрическая проницаемость вакуума, [math]\displaystyle{ \varepsilon_r }[/math] — диэлектрическая проницаемость. Суммирование идёт по всем сортам частиц, при этом должно выполняться условие нейтральности [math]\displaystyle{ \sum_j q_j n_j = 0 }[/math]. Важным параметром среды является число частиц в сфере радиуса дебаевской длины:

[math]\displaystyle{ n_\text{D} = \frac{4\pi}{3} \lambda_\text{D}^3 \sum_j n_j. }[/math]

Оно характеризует отношение средней кинетической энергии частиц к средней энергии их кулоновского взаимодействия:

[math]\displaystyle{ n_\text{D} \thicksim (E_\text{kinetic} / E_\text{coulomb})^{3/2}. }[/math]

Для электролитов это число мало́ ([math]\displaystyle{ n_D \thicksim 10^{-4} }[/math]). Для плазмы, находящейся в самых различных физических условиях, — велико. Это позволяет использовать методы физической кинетики для описания плазмы.

Понятие дебаевской длины введено Петером Дебаем в связи с изучением явлений электролиза.

Физический смысл

В системе из [math]\displaystyle{ N }[/math] различных типов частиц частицы [math]\displaystyle{ j }[/math]-й разновидности переносят заряд [math]\displaystyle{ q_j }[/math] и имеют концентрацию [math]\displaystyle{ n_j(\mathbf{r}) }[/math] в точке [math]\displaystyle{ \mathbf{r} }[/math]. В первом приближении эти заряды можно рассматривать как непрерывную среду, характеризующуюся только своей диэлектрической проницаемостью [math]\displaystyle{ \varepsilon_r }[/math]. Распределение зарядов в такой среде создаёт электрическое поле с потенциалом [math]\displaystyle{ \Phi(\mathbf{r}) }[/math], удовлетворяющим уравнению Пуассона:

[math]\displaystyle{ \nabla^2 \Phi(\mathbf{r}) = -\frac{1}{\varepsilon_r \varepsilon_0} \sum_{j=1}^N q_j \, n_j(\mathbf{r}), }[/math]

где [math]\displaystyle{ \varepsilon_0 }[/math] — диэлектрическая постоянная.

Подвижные заряды не только создают потенциал [math]\displaystyle{ \Phi(\mathbf{r}) }[/math], но также движутся под действием кулоновской силы [math]\displaystyle{ -q_j \, \nabla \Phi(\mathbf{r}) }[/math]. В дальнейшем будем считать, что система находится в термодинамическом равновесии с термостатом с температурой [math]\displaystyle{ T }[/math], тогда концентрации зарядов [math]\displaystyle{ n_j(\mathbf{r}) }[/math] могут быть рассмотрены как термодинамические величины, а соответствующий электрический потенциал — как соответствующий самосогласованному полю. В этих допущениях концентрация [math]\displaystyle{ j }[/math]-й разновидности частиц описывается Больцмановским распределением:

[math]\displaystyle{ n_j(\mathbf{r}) = n_j^0 \, \exp\left(-\frac{q_j \, \Phi(\mathbf{r})}{kT}\right), }[/math]

где [math]\displaystyle{ n_j^0 }[/math] средняя концентрация зарядов типа [math]\displaystyle{ j }[/math]. Взяв в уравнении Пуассона вместо мгновенных значений концентрации и поля их усреднённые значения, получаем уравнение Пуассона — Больцмана:

[math]\displaystyle{ \nabla^2 \Phi(\mathbf{r}) = -\frac{1}{\varepsilon_r \varepsilon_0} \sum_{j=1}^N q_j n_j^0 \, \exp\left(-\frac{q_j \, \Phi(\mathbf{r})}{kT}\right). }[/math]

Решения этого нелинейного уравнения известны для некоторых простых систем. Более общее решение может быть получено в пределе слабой связи ([math]\displaystyle{ q_j \, \Phi(\mathbf{r}) \ll kT }[/math]) разложением экспоненты в ряд Тейлора:

[math]\displaystyle{ \exp\left(-\frac{q_j \, \Phi(\mathbf{r})}{kT}\right) \approx 1 - \frac{q_j \, \Phi(\mathbf{r})}{kT}. }[/math]

В результате чего получается линеаризованное уравнение Пуассона — Больцмана

[math]\displaystyle{ \nabla^2 \Phi(\mathbf{r}) = \left(\sum_{j=1}^N \frac{n_j^0 \, q_j^2}{\varepsilon_r \varepsilon_0 \, kT}\right) \Phi(\mathbf{r}) - \frac{1}{\varepsilon_r \varepsilon_0} \sum_{j=1}^N n_j^0 q_j, }[/math]

также известное как уравнение Дебая — Хюккеля. Второе слагаемое в правой части уравнения исчезает в случае электронейтральности системы. Слагаемое в скобках имеет размерность обратного квадрата длины, что естественным образом приводит нас к определению характерной длины

[math]\displaystyle{ \lambda_\text{D} = \left(\frac{\varepsilon_r \varepsilon_0 \, kT}{\sum_{j=1}^N n_j^0 \, q_j^2}\right)^{1/2}, }[/math]

обычно называемой дебаевским радиусом (или дебаевской длиной). Все типы зарядов вносят положительный вклад в дебаевскую длину вне зависимости от их знака.

Некоторые значения дебаевских длин

(Источник: Глава 19: The Particle Kinetics of Plasma)

Плазма	Плотность ne (м−3)	Температура электронов T (K)	Магнитное поле B (T)	Дебаевская длина λD (м)
Газовый разряд (пинчи)	1016	104	—	10−4
Токамак	1020	108	10	10−4
Ионосфера	1012	103	10−5	10−3
Магнитосфера	107	107	10−8	102
Солнечное ядро	1032	107	—	10−11
Солнечный ветер	106	105	10−9	10
Межзвёздное пространство	105	104	10−10	10
Межгалактическое пространство	1	106	—	105

См. также

• Двойной электрический слой

Литература

• Арцимович Л. А. Элементарная физика плазмы. — 3-е изд. — М.: Атомиздат, 1969. — 189 с.
• Котельников И. А. Лекции по физике плазмы. Том 1: Основы физики плазмы. — 3-е изд. — СПб.: Лань, 2021. — 400 с. — ISBN 978-5-8114-6958-1.