Группа Ри

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис

Группы Ри — это группы лиева типа над конечным полем, которые построил Ри[1][2] из исключительных автоморфизмов диаграмм Дынкина, которые обращают направление кратных рёбер, что обобщает группы Судзуки[англ.], которые нашёл Судзуки, используя другой метод. Группы были последними открытыми в бесконечных семействах конечных простых групп[англ.].

В отличие от групп Штейнберга, группы Ри не задаются точками редуктивной алгебраической группы, определённой над конечным полем. Другими словами, нет никакой «алгебраической группы Ри», связанной с группами Ри таким же образом, каким (скажем) унитарные группы связаны с группами Штейнберга. Однако существуют некоторые экзотические псевдоредуктивные алгебраические группы[англ.] над несовершенными полями, построение которых связано с построением групп Ри, так как они используют те же экзотические автоморфизмы диаграммы Дынкина, которые меняют длины корней.

Титс[3] определил группы Ри над бесконечными полями характеристики 2 и 3. Титс[4] и Хи[5] ввели группы Ри бесконечномерных обобщённых алгебр Каца-Муди[англ.].

Построение

Если X является диаграммой Дынкина, Шевалле построил расщепляемые алгебраические группы, соответствующие X, в частности, дающие группы X(F) со значениями в поле F. Эти группы имеют следующие автоморфизмы:

  • Любой автоморфизм [math]\displaystyle{ \sigma }[/math] поля F порождает эндоморфизм [math]\displaystyle{ \alpha_{\sigma} }[/math] группы X(F)
  • Любой автоморфизм [math]\displaystyle{ \pi }[/math] диаграммы Дынкина порождает автоморфизм [math]\displaystyle{ \alpha_{\pi} }[/math] группы X(F).

Группы Штейнберга и Группы Шевалле можно построить как фиксированные точки эндоморфизма X(F)для алгебраического замыкания поля F. Для групп Шевалле автоморфизм является эндоморфизмом Фробениуса группы F, в то время как для групп Штейнберга автоморфизм является эндоморфизмом Фробениуса, помноженным на автоморфизм диаграммы Дынкина.

Над полями характеристики 2 группы B2(F) и F4(F) и над полями характеристики 3 группы G2(F) имеют эндоморфизм, квадрат которого является эндоморфизмом [math]\displaystyle{ \alpha_{\varphi} }[/math], связанным с эндоморфизмом Фробениуса [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] поля F. Грубо говоря, этот эндоморфизм [math]\displaystyle{ \alpha_{\pi} }[/math] приходит из автоморфизма порядка 2 диаграммы Дынкина, где игнорируется длина корней.

Предположим, что поле F имеет эндоморфизм [math]\displaystyle{ \sigma }[/math], квадрат которого является эндоморфизмом Фробениуса: [math]\displaystyle{ \sigma_2 = \varphi }[/math]. Тогда группа Ри определяется как группа элементов g из X(F), таких что [math]\displaystyle{ \alpha_{\pi}(g) = \alpha_{\sigma}(g) }[/math]. Если поле F совершенно, то [math]\displaystyle{ \alpha_{\pi} }[/math] и [math]\displaystyle{ \alpha_{\varphi} }[/math] являются автоморфизмами, а группа Ри является группой фиксированных точек инволюции [math]\displaystyle{ \alpha_{\varphi}/\alpha_{\pi} }[/math] на X(F).

В случае, когда F является конечным полем порядка pk (с p = 2 или 3), существует эндоморфизм с квадратом Фробениуса в точности, когда k = 2n + 1 нечётно и в этом случае он единственнен. Таким образом, это даёт конечные группы Ри как подгруппы B2(22n+1), F4(22n+1) и G2(32n+1), фиксированные по инволюции.

Группы Шевалле, группы Штейнберга и группы Ри

Связь между группами Шевалле, группами Штейнберга и группами Ри примерно такая. Если дана диаграмма Дынкина X, Шевалле построил групповую схему над целыми числами Z, значения которой над конечными полями являются группами Шевалле. В общем случае можно взять фиксированные точки эндоморфизма [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] группы X(F), где F — алгебраическое замыкание конечного поля, такое, что некоторая степень [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] является некоторой степенью эндоморфизма Фробениуса [math]\displaystyle{ \varphi }[/math]. Возможны три случая

  • Для групп Шевалле [math]\displaystyle{ \alpha = \varphi^n }[/math] для некоторого положительного целого n. В этом случае группа фиксированных точек является группой точек X, определённых конечным полем.
  • Для групп Штейнберга [math]\displaystyle{ \alpha^m = \varphi^n }[/math] для некоторых положительных целых m и n, при этом m делит n и m > 1. В этом случае группа фиксированных точек является также группой точек кручёной (квазирасщеплённой) формы группы X, определённой над конечным полем.
  • Для групп Ри, [math]\displaystyle{ \alpha^m = \varphi^n }[/math] для некоторых положительных целых m, n, при этом m не делит n. На практике m=2 и n нечётно. Группы Ри не задаются как точки некоторой связной алгебраической группы со значениями в поле. Они являются фиксированными точками порядка m=2 автоморфизмов группы, определённой над полем порядка pn с нечётным n и нет соответствующего поля порядка pn/2.

Группы Ри типа 2B2

Основная статья: Группы Судзуки

Группы Ри типа 2B2 первым нашёл Судзуки[6], используя другой подход, и они обычно называются группами Судзуки[англ.]. Ри заметил, что их можно построить из групп типа B2 при использовании варианта построения Стайнберга[7]. Ри понял, что похожее построение можно применить к диаграммам Дынкина F4 и G2, что приводит к двум новым семействам конечных простых групп|.

Группы Ри типа 2G2

Группы Ри типа 2G2(32n+1) ввёл Ри[1], который показал, что они все просты, за исключением первой группы 2G2(3), которая изоморфна группе автоморфизмов SL2(8). Уилсон[8] дал упрощённое построение групп Ри как автоморфизмы 7-мерного векторного пространства над полем с 32n+1 элементами, сохраняющими билинейную форму, трилинейную форму и билинейное произведение.

Группа Ри имеет порядок [math]\displaystyle{ q^3(q^3 + 1)(q - 1) }[/math], где [math]\displaystyle{ q = 3^{2n+1} }[/math]

Мультипликатор Шура тривиален для n ≥ 1 и для 2G2(3).

Внешняя группа автоморфизмов[англ.] является циклической и имеет порядок [math]\displaystyle{ 2n + 1 }[/math].

Группа Ри иногда обозначается как Ree(q), R(q) или [math]\displaystyle{ \mathrm{E}_2^*(q) }[/math]

Группа Ри [math]\displaystyle{ ^2\mathrm{G}_2(q) }[/math] имеет дважды транзитивное перестановочное представление[англ.] на [math]\displaystyle{ q^3 + 1 }[/math] точках и действует как автоморфизмы [math]\displaystyle{ \mathrm{S}(2, q+1, q^3+1) }[/math] системы Штейнера. Она также действует в 7-мерном векторном пространстве над полем с q элементами, будучи подгруппой G2(q).

2-Силовские подгруппы групп Ри являются абелевыми с порядком 8. Теорема Уолтера[англ.] показывает, что только другие неабелевы конечные простые группы с абелевыми силовскими 2-подгруппами являются проективными специальными линейными группами в размерности 2 и группами Янко J1[англ.]. Эти группы сыграли также роль в открытии первой современной спорадической группы. Они имеют централизаторы инволюции вида Z/2Z × PSL2(q) и при исследовании групп с централизатором инволюции похожего вида [math]\displaystyle{ \mathbf{Z}/2\mathbf{Z} \times \mathrm{PSL}_2(5) }[/math] Янко нашёл спорадическую группу J1. Клейдман[9] обнаружил их максимальные подгруппы.

Группы Ри типа 2G2 исключительно трудно описывать. Томпсон[10][11][12] изучал эту проблему и смог показать, что структура такой группы определяется некоторым автоморфизмом [math]\displaystyle{ \sigma }[/math] конечного поля характеристики 3, и если квадрат этого автоморфизма является автоморфизмом Фробениуса, то группа является группой Ри. Он также дал некоторые сложные условия, которым удовлетворяет автоморфизм [math]\displaystyle{ \sigma }[/math]. Наконец, Бомбиери[13] использовал теорию исключения[англ.], чтобы показать, что условия Томпсона подразумевает, что [math]\displaystyle{ \sigma^2 = 3 }[/math] во всех, кроме 178 небольших случаев, которые были исключены с помощью компьютера (Эндрю Одлыжко[англ.] и Хант). Бомбиери узнал об этой задаче, прочитав статью о классификации Горенстейна[14], который предположил, что кто-то со стороны, не из теоретиков групп, поможет решить эту проблему. Ангеар[15] дал объединённую сводку решения этой проблемы Томпсоном и Бомбиери.

Группы Ри типа 2F4

Группы Ри типа [math]\displaystyle{ ^2\mathrm{F}_4(2^{2n+1}) }[/math] ввёл Ри[2]. Они являются простыми, за исключением первой [math]\displaystyle{ ^2\mathrm{F}_4(2) }[/math], для которой Титс[16] показал, что она имеет простую подгруппу индекса 2, которая теперь известна как группа Титса. Уилсон[17] дал упрощённое построение групп Ри как симметрии 26-мерного пространства над полем порядка 22n+1, сохраняющего квадратичную форму, кубическую форму и частичное умножение.

Группа Ри [math]\displaystyle{ ^2\mathrm{F}_4(2^{2n+1}) }[/math] имеет порядок [math]\displaystyle{ q^{12} }[/math] [math]\displaystyle{ (q^6 + 1) }[/math] [math]\displaystyle{ (q^4 - 1) }[/math] [math]\displaystyle{ (q^3 + 1) }[/math] [math]\displaystyle{ (q - 1) }[/math] где [math]\displaystyle{ q = 2^{2n+1} }[/math]. Мультипликатор Шура тривиален. Группа внешних автоморфизмов[англ.] является циклической с порядком [math]\displaystyle{ 2n + 1 }[/math].

Эти группы Ри имеют необычные свойства, такие, что группа Коксетера пары (B, N) не является кристаллографической — это диэдральная группа порядка 16. Титс[18] показал, что все многоугольники Муфанга[англ.] получаются из групп Ри типа [math]\displaystyle{ ^2\mathrm{F}_4 }[/math].

См. также

Примечания

  1. ↑ 1,0 1,1 Ree, 1960.
  2. ↑ 2,0 2,1 Ree, 1961.
  3. ↑ Tits, 1960.
  4. ↑ Tits, 1989.
  5. ↑ Hée, 1990.
  6. ↑ Suzuki, 1960.
  7. ↑ Steinberg, 1959.
  8. ↑ Wilson, 2010.
  9. ↑ Kleidman, 1988.
  10. ↑ Thompson, 1967.
  11. ↑ Thompson, 1972.
  12. ↑ Thompson, 1977.
  13. ↑ Bombieri, 1980.
  14. ↑ Gorenstein, 1979.
  15. ↑ Enguehard, 1986.
  16. ↑ Tits, 1964.
  17. ↑ Wilson, 2010b.
  18. ↑ Tits, 1983.

Литература

Ссылки

Источник — https://xn--h1ajim.xn--p1ai/index.php?title=Группа_Ри&oldid=5814199