Группа Коксетера

Группа Коксетера — группа, порождённая отражениями в гранях [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерного многогранника, у которого каждый двугранный угол составляет целую часть от [math]\displaystyle{ \pi }[/math] (то есть равен [math]\displaystyle{ \pi/k }[/math] для некоторого целого [math]\displaystyle{ k }[/math]). Такие многогранники называются многогранниками Коксетера. Группы Коксетера определяются для многогранников в евклидовом пространстве, на сфере, а также в пространстве Лобачевского.

Примеры

• Конечным группам Коксетера изоморфны, в частности, группы Вейля простых алгебр Ли.
• Многогранники Коксетера в евклидовом пространстве размерности [math]\displaystyle{ n }[/math]:
  • [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерный куб произвольной размерности.
  • [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерный симплекс, образованный точками с координатами [math]\displaystyle{ (x_1,x_2,\dots,x_n) }[/math] такими, что [math]\displaystyle{ 0\leqslant x_1\leqslant x_2\leqslant\ldots\leqslant x_n\leqslant 1 }[/math].
• Многогранники Коксетера в единичной сфере размерности [math]\displaystyle{ n }[/math]:
  • правильный [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерный симплекс со стороной [math]\displaystyle{ \pi/2 }[/math].
• Многогранники Коксетера в пространствах Лобачевского:
  • Правильный [math]\displaystyle{ k }[/math]-многоугольник с углом [math]\displaystyle{ \pi/m }[/math].
  • Правильный прямоугольный додекаэдр в размерности [math]\displaystyle{ 3 }[/math].
  • Правильный прямоугольный стодвадцатиячейник в размерности [math]\displaystyle{ 4 }[/math].

Свойства

• Группы Коксетера описываются и классифицируются с помощью диаграмм Коксетера — Дынкина.
• Многогранник Коксетера является фундаментальной областью действия группы Коксетера.
  • В частности, многогранник Коксетера замощает пространство.
  • В частности, любая евклидова группа Коксетера является примером точечной группы.
• Теорема Винберга. В пространствах Лобачевского всех достаточно больших размерностей ограниченных многогранников Коксетера не существует.
• Сферические многогранники Коксетера являются симплексами.
• Многогранники Коксетера являются простыми.
• Обозначим через [math]\displaystyle{ \{r_1,r_2,\ldots,r_n\} }[/math] отражения в гранях многогранника, и пусть [math]\displaystyle{ \pi/m_{ij} }[/math] есть двугранный угол между гранями [math]\displaystyle{ i }[/math] и [math]\displaystyle{ j }[/math]. Положим [math]\displaystyle{ m_{ij}=\infty }[/math], если грани не образуют двугранного угла в многограннике, и [math]\displaystyle{ m_{ii}=1 }[/math]. Тогда группу Коксетера можно задать следующим образом:

  [math]\displaystyle{ \left\langle r_1,r_2,\ldots,r_n \mid (r_ir_j)^{m_{ij}}=1\right\rangle }[/math]

Вариации и обобщения

• Группами Коксетера также называется обобщение класса групп, описанного выше, определяемое с помощью задания:

  [math]\displaystyle{ \left\langle r_1,r_2,\ldots,r_n \mid (r_ir_j)^{m_{ij}}=1\right\rangle }[/math],

где [math]\displaystyle{ m_{ii}=1 }[/math] и [math]\displaystyle{ m_{ij}\geqslant 2 }[/math] при [math]\displaystyle{ i\neq j }[/math].

См. также

• Группа комплексных отражений
• Число Коксетера

Литература

• H. S. M. Coxeter. Discrete groups generated by reflections (англ.) // Annals of Mathematics. — 1934. — Vol. 35. — P. 588—621. — doi:10.2307/1968753.