Свободная абелева группа

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис
(перенаправлено с «Группа Баера — Шпекера»)

В математике свободная абелева группа (свободный Z-модуль) — это абелева группа, имеющая базис, то есть такое подмножество элементов группы, что для любого её элемента существует единственное его представление в виде линейной комбинации базисных элементов с целыми коэффициентами, из которых только конечное число являются ненулевыми. Элементы свободной абелевой группы с базисом B называют также формальными суммами над B. Свободные абелевы группы и формальные суммы используются в алгебраической топологии при определении групп цепей и в алгебраической геометрии при определении дивизоров.

Как и векторные пространства, свободные абелевы группы классифицируются мощностью базиса; эта мощность не зависит от выбора базиса и называется рангом группы.[1][2]

Пример и контрпример

  • Группа [math]\displaystyle{ G = \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z} \simeq \mathbb{Z}\times\mathbb{Z}=\mathbb{Z}^{2} }[/math], прямая сумма двух копий бесконечной циклической группы [math]\displaystyle{ \mathbb{Z} }[/math] — свободная абелева группа ранга 2, так как имеет базис [math]\displaystyle{ B = \lbrace e_{1}, e_{2}\rbrace }[/math], где [math]\displaystyle{ e_{1} = (1,0) }[/math] и [math]\displaystyle{ e_{2} = (0,1) }[/math]. Произвольный элемент [math]\displaystyle{ (n, m) }[/math] группы [math]\displaystyle{ G }[/math] единственным образом представляется в виде их линейной комбинации: [math]\displaystyle{ (n, m)= ne_{1} + me_{2} }[/math]. Более общо, свободной абелевой группой является любая решётка в [math]\displaystyle{ \mathbb R^n. }[/math][3]
  • Никакая конечная абелева группа, кроме тривиальной, не является свободной (так как свободная абелева группа не имеет кручения).

Формальные суммы

Для любого множества [math]\displaystyle{ B }[/math] можно определить группу [math]\displaystyle{ \mathbb Z^{(B)}, }[/math] элементы которой — функции из [math]\displaystyle{ B }[/math] во множество целых чисел [math]\displaystyle{ \mathbb Z, }[/math] а скобки обозначают тот факт, что все функции принимают ненулевые значения не более чем на конечном множестве. Сложение функций определяется поточечно: [math]\displaystyle{ (f+g)(x) = f(x)+g(x), }[/math] относительно этого сложения [math]\displaystyle{ \mathbb Z^{(B)} }[/math] образует свободную абелеву группу, базис которой находится во взаимно-однозначном соответствии со множеством [math]\displaystyle{ B. }[/math] Действительно, любому элементу [math]\displaystyle{ x }[/math] множества [math]\displaystyle{ B }[/math] можно сопоставить функцию [math]\displaystyle{ e_x, }[/math] такую что [math]\displaystyle{ e_x(x) = 1, }[/math] и [math]\displaystyle{ e_x(y) = 0 }[/math] для всех элементов [math]\displaystyle{ y }[/math] из множества [math]\displaystyle{ B, }[/math] таких, что [math]\displaystyle{ y\ne x. }[/math] Любая функция [math]\displaystyle{ f }[/math] из [math]\displaystyle{ \mathbb Z^{(B)} }[/math] представима единственным образом в виде конечной линейной комбинации базисных функций:

[math]\displaystyle{ f=\sum_{\{x\mid f(x)\ne 0\}} f(x) e_x }[/math]

Группа [math]\displaystyle{ \mathbb Z^{(B)} }[/math] с базисом [math]\displaystyle{ \{e_x\}_{x\in B} }[/math] единственна с точностью до изоморфизма; её элементы называются формальными суммами элементов [math]\displaystyle{ B. }[/math]

Свойства

Универсальное свойство

Свободные группы можно охарактеризовать с помощью следующего универсального свойства: функция [math]\displaystyle{ b }[/math] из множества B в абелеву группу F является вложением базиса в эту группу, если для любой функции [math]\displaystyle{ g }[/math] из B в произвольную абелеву группу A существует единственный гомоморфизм групп [math]\displaystyle{ G:F\to A, }[/math] такой что [math]\displaystyle{ g=G\circ b. }[/math] Как и для любого универсального свойства, удовлетворяющий этому свойству объект автоматически единственен с точностью до изоморфизма, поэтому данное универсальное свойство можно использовать для доказательства того, что все другие определения свободной группы с базисом B эквивалентны.

Подгруппы

Теорема: Пусть [math]\displaystyle{ F }[/math] — свободная абелева группа и пусть [math]\displaystyle{ G\subset F }[/math] — её подгруппа. Тогда [math]\displaystyle{ G }[/math] также является свободной абелевой группой.

Для доказательства этой теоремы необходима аксиома выбора[4]. В книге Сержа Ленга «Алгебра» приводится доказательство, использующее лемму Цорна[5], тогда как Соломон Лефшец и Ирвинг Капланский утверждали, что использование принципа вполне упорядочивания вместо леммы Цорна даёт более интуитивно понятное доказательство[6].

В случае конечнопорождённых групп доказательство более простое и позволяет получить более точный результат:

Теорема: Пусть [math]\displaystyle{ G }[/math] — подгруппа конечнопорождённой свободной группы [math]\displaystyle{ F }[/math]. Тогда [math]\displaystyle{ G }[/math] свободна, существует базис [math]\displaystyle{ (e_1, \ldots, e_n) }[/math] группы [math]\displaystyle{ F }[/math] и натуральные числа [math]\displaystyle{ d_1|d_2|\ldots|d_k }[/math] (то есть каждое из чисел делит последующее), такие что [math]\displaystyle{ (d_1e_1,\ldots, d_ke_k) }[/math] образуют базис [math]\displaystyle{ G. }[/math] Более того, последовательность [math]\displaystyle{ d_1,d_2,\ldots,d_k }[/math] зависит только от [math]\displaystyle{ F }[/math] и [math]\displaystyle{ G }[/math], но не от выбора базиса.[1]

Кручение и делимость

Все свободные абелевы группы свободны от кручения, то есть не существует элемента группы x и ненулевого числа n, таких что nx = 0. Обратно, любая конечно порождённая свободная от кручения абелева группа свободна[7]. Аналогичные утверждения верны, если заменить слова «группа без кручения» на «плоская группа»: для абелевых групп плоскость эквивалентна отсутствию кручения.

Группа рациональных чисел [math]\displaystyle{ \mathbb Q }[/math] — пример абелевой группы без кручения, не являющейся свободной. Чтобы доказать последнее утверждение, достаточно заметить, что группа рациональных чисел является делимой, тогда как в свободной группе никакой из элементов базиса не может быть кратен другому элементу[1].

Прямые суммы и произведения

Любая свободная абелева группа может быть описана как прямая сумма некоторого множества копий [math]\displaystyle{ \mathbb Z }[/math] (равномощного её рангу). Прямая сумма любого количества свободных абелевых групп также свободна; в качестве её базиса можно взять объединение базисов слагаемых.[1]

Прямое произведение конечного числа свободных абелевых групп также является свободным и изоморфно их прямой сумме. Однако для произведения бесконечного числа групп это не верно; например, группа Баера — Шпекера [math]\displaystyle{ \mathbb Z^{\mathbb N}, }[/math] прямое произведение счётного числа копий [math]\displaystyle{ \mathbb Z, }[/math] не является свободной абелевой[8][9]. В то же время, любая её счётная подгруппа является свободной абелевой[10].

Примечания

  1. ↑ 1,0 1,1 1,2 1,3 Hungerford, Thomas W. II.1 Free abelian groups // Algebra. — Springer, 1974. — Vol. 73. — P. 70–75. — (Graduate Texts in Mathematics). Архивная копия от 9 августа 2014 на Wayback Machine
  2. ↑ Hofmann, Karl H.; Morris, Sidney A. The Structure of Compact Groups: A Primer for Students - A Handbook for the Expert. — Walter de Gruyter, 2006. — Vol. 25. — P. 640. — (De Gruyter Studies in Mathematics). — ISBN 9783110199772. Архивная копия от 9 августа 2014 на Wayback Machine
  3. ↑ Mollin, Richard A. [Mollin, Richard A.
    Advanced Number Theory with Applications    . — CRC Press, 2011. — P. 182. — ISBN 9781420083293.     Архивная копия от 11 августа 2014 на Wayback Machine
    Advanced Number Theory with Applications]. — CRC Press, 2011. — P. 182. — ISBN 9781420083293.
  4. ↑ Blass, Andreas. Injectivity, projectivity, and the axiom of choice // Transactions of the American Mathematical Society. — 1979. — Vol. 255. — P. 31–59. — doi:10.1090/S0002-9947-1979-0542870-6.. Example 7.1 предоставляет модель теории множеств и несвободную проективную абелеву группу в этой модели, которая является подгруппой свободной абелевой группы [math]\displaystyle{ \left(\mathbb{Z}^{(A)}\right)^n, }[/math] где A — множество атомов.
  5. ↑ Lang, Serge. Algebra. — Springer-Verlag, 2002. — Vol. 211. — P. 880. — (Graduate Texts in Mathematics). — ISBN 978-0-387-95385-4.
  6. ↑ Kaplansky, Irving. Set Theory and Metric Spaces. — AMS, 2001. — Vol. 298. — P. 124–125. — (AMS Chelsea Publishing Series). — ISBN 9780821826942. Архивная копия от 3 января 2014 на Wayback Machine
  7. ↑ Lee, John M. Free Abelian Groups // Introduction to Topological Manifolds. — Springer. — P. 244–248. — (Graduate Texts in Mathematics). — ISBN 9781441979407. Архивная копия от 11 августа 2014 на Wayback Machine
  8. ↑ Griffith, Phillip A. Infinite Abelian group theory. — University of Chicago Press, 1970. — P. 1, 111–112. — (Chicago Lectures in Mathematics). — ISBN 0-226-30870-7.
  9. ↑ Baer, Reinhold. Abelian groups without elements of finite order // Duke Mathematical Journal. — 1937. — Vol. 3, № 1. — P. 68–122. — doi:10.1215/S0012-7094-37-00308-9.
  10. ↑ Specker, Ernst. Additive Gruppen von Folgen ganzer Zahlen // Portugaliae Math. — 1950. — Vol. 9. — P. 131–140.
Источник — https://xn--h1ajim.xn--p1ai/index.php?title=Свободная_абелева_группа&oldid=5838311#Прямые_суммы_и_произведения