Пропорция (математика)

Пропо́рция (лат. proportio «соразмерность, выравненность частей; определённое соотношение частей между собой») — равенство отношений двух [и более] пар чисел [math]\displaystyle{ a , b }[/math] и [math]\displaystyle{ c , d }[/math], т. е. равенство вида [math]\displaystyle{ a : b = c : d }[/math], или, в других обозначениях, равенство [math]\displaystyle{ \ \frac ab=\frac cd }[/math] (часто читается как: «[math]\displaystyle{ a }[/math] относится к [math]\displaystyle{ b }[/math] так же, как [math]\displaystyle{ c }[/math] относится к [math]\displaystyle{ d }[/math]»). В этом случае [math]\displaystyle{ a }[/math] и [math]\displaystyle{ d }[/math] называют крайними, [math]\displaystyle{ b }[/math] и [math]\displaystyle{ c }[/math] — средними членами пропорции. Такую пропорцию ещё называют геометрической, чтобы не путать с арифметической и гармонической пропорциями.

Основные свойства пропорций

Обращение пропорции. Если [math]\displaystyle{ \ \frac ab=\frac cd }[/math], то [math]\displaystyle{ \ \frac ba=\frac dc }[/math]
Перемножение крайних членов пропорции со средними (крест-накрест). Если [math]\displaystyle{ \ \frac ab=\frac cd }[/math], то [math]\displaystyle{ \ ad=bc }[/math]. Иными словами, произведение крайних членов равно произведению средних. Это свойство называется основным свойством пропорции.
Перестановка средних и крайних членов. Если [math]\displaystyle{ \ \frac ab=\frac cd }[/math], то

[math]\displaystyle{ \ \frac ac=\frac bd }[/math] (перестановка средних членов пропорции),

[math]\displaystyle{ \ \frac db=\frac ca }[/math] (перестановка крайних членов пропорции).

Увеличение и уменьшение пропорции. Если [math]\displaystyle{ \ \frac ab=\frac cd }[/math], то

[math]\displaystyle{ \ \dfrac{a+b}{b}=\dfrac{c+d}{d} }[/math] (увеличение пропорции),

[math]\displaystyle{ \ \dfrac{a-b}{b}=\dfrac{c-d}{d} }[/math] (уменьшение пропорции).

Составление пропорции сложением и вычитанием. Если [math]\displaystyle{ \ \frac ab=\frac cd }[/math], то

[math]\displaystyle{ \ \dfrac{a+c}{b+d}=\frac ab =\frac cd }[/math] (составление пропорции сложением),

[math]\displaystyle{ \ \dfrac{a-c}{b-d}=\frac ab =\frac cd }[/math] (составление пропорции вычитанием).

Доказательство (составление пропорции сложением и вычитанием)

Докажем для сложения. Выразим [math]\displaystyle{ c }[/math] через остальные члены пропорции: [math]\displaystyle{ c = \frac{ad}{b} }[/math]. Тогда:

[math]\displaystyle{ \frac{a + c}{b + d} = \frac{a + ad/b}{b + d} = \frac{(ab + ad)/b}{b + d} = \frac{a(b + d)}{b(b + d)} = \frac{a}{b}. }[/math]

Для вычитания доказательство аналогично. ■

История

Первое известное определение равных пропорций было дано как равенство последовательных вычитаний^[1], современным языком это можно выразить как равенство цепных дробей для отношений величин.^[2] Позже Евдокс Книдский упростил определение, равенство пропорций [math]\displaystyle{ a:b=c:d }[/math] им определялось как одновременное выполнение одной из трёх пар соотношений

[math]\displaystyle{ m\cdot a\gt n\cdot b }[/math] и [math]\displaystyle{ m\cdot c\gt n\cdot d }[/math],
[math]\displaystyle{ m\cdot a=n\cdot b }[/math] и [math]\displaystyle{ m\cdot c=n\cdot d }[/math],
[math]\displaystyle{ m\cdot a\lt n\cdot b }[/math] и [math]\displaystyle{ m\cdot c\lt n\cdot d }[/math]

для любой пары натуральных чисел [math]\displaystyle{ m }[/math] и [math]\displaystyle{ n }[/math]. Это определение даётся в «Началах» Евклида.

С появлением вещественных чисел отпала необходимость в специальной теории пропорций, древние математики не рассматривали пропорции длины как числа. Определение Евдокса, данное в несколько более абстрактном виде, использовалось далее при определении вещественных чисел Дедекиндом через сечения.

Связанные определения

Арифметическая пропорция

Равенство двух разностей [math]\displaystyle{ a - b = c - d }[/math] иногда называют арифметической пропорцией^[3].

Гармоническая пропорция

Если у геометрической пропорции средние члены равны, а последний является разницей между первым и средним, такая пропорция называется гармонической: [math]\displaystyle{ a : b = b : (a - b) }[/math]. В этом случае, разложение [math]\displaystyle{ a }[/math] на сумму двух слагаемых [math]\displaystyle{ b }[/math] и [math]\displaystyle{ a-b }[/math] называется гармоническим делением или золотым сечением^[4].

Задачи на тройное правило

В содержание задачи на простое тройное правило входят две величины, связанные пропорциональной зависимостью, при этом даются два значения одной величины и одно из соответствующих значений другой величины, требуется же найти её второе значение.

Задачами на сложное тройное правило называют задачи, в которых по ряду нескольких (более двух) пропорциональных величин требуется найти значение одной из них, соответствующее другому ряду данных значений величин^[5]^[6].

См. также

Пропорциональность

Примечания

↑ Топика Аристотеля
↑ Von Fritz, Kurt. «The discovery of incommensurability by Hippasus of Metapontum». Annals of mathematics. — 1945. — S. 242—264.
↑ Пропорции арифметические // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
↑ Гармоническая пропорция // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.
↑ Справочник по элементарной математике (неопр.). Дата обращения: 8 января 2018. Архивировано 8 января 2018 года.
↑ Решение задач на простое тройное правило. Способы решения (неопр.). Дата обращения: 8 января 2018. Архивировано 8 января 2018 года.

Литература

Ван дер Варден, Б. Л. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. / пер. с голл. И. Н. Веселовского. — М.: ГИФМЛ, 1959.

[1] Топика Аристотеля

[2] Von Fritz, Kurt. «The discovery of incommensurability by Hippasus of Metapontum». Annals of mathematics. — 1945. — S. 242—264.

[3] Пропорции арифметические // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.

[4] Гармоническая пропорция // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.

[5] Справочник по элементарной математике (неопр.). Дата обращения: 8 января 2018. Архивировано 8 января 2018 года.

[6] Решение задач на простое тройное правило. Способы решения (неопр.). Дата обращения: 8 января 2018. Архивировано 8 января 2018 года.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]