Геодезические задачи
Геодезическая задача — математическая задача, связанная с определением взаимного положения точек (координат) принадлежащих какой-либо поверхности. Геодезические задачи подразделяются на прямую, обратную и задачу Потенота.[1]
Прямая геодезическая задача (ПГЗ)
Прямая геодезическая задача (прямая линейно-угловая засечка) заключается в том, что по известным координатам одной точки, вычисляют координаты другой точки, для чего необходимо знать горизонтальное проложение (длину) линии между этими точками и ориентирный (дирекционный) угол этой линии.
Решение прямой геодезической задачи выполняется по формулам:[2]
[math]\displaystyle{ \left\{ \begin{matrix} X_{2}= X_{1} + \Delta X \\Y_{2} = Y_{1} + \Delta Y \end{matrix} \right. }[/math]
Далее определяются приращениями координат из решения прямоугольных треугольников.
[math]\displaystyle{ \left\{ \begin{matrix} \Delta X = S * {\operatorname{cos}\alpha} \\\Delta Y = S * {\operatorname{sin}\alpha} \end{matrix} \right. }[/math]
Обратная геодезическая задача (ОГЗ)
Обратная геодезическая задача заключается в том, что по известным координатам двух точек вычисляют горизонтальное проложение (длину) линии между этими точками и дирекционный угол этой линии.
Дирекционный угол направления на ориентир может быть вычислен путём решения обратной геодезической задачи если известны плоские прямоугольные координаты исходной точки и ориентира.
Решение обратной геодезической задачи выполняется в следующем порядке:
1) вычисляют приращения координат:
[math]\displaystyle{ \Delta X = X_{2} - X_{1}. }[/math]
[math]\displaystyle{ \Delta Y = Y_{2} - Y_{1}. }[/math]
2) из решения прямоугольного треугольника определяют румб линии:
[math]\displaystyle{ \mathrm{tg} r = \frac{\Delta Y}{\Delta X} }[/math].
откуда
[math]\displaystyle{ r = \operatorname{arctg}\frac{\pm\Delta Y}{\pm\Delta X} }[/math]
3) по знакам приращений координат и по известному румбу линии определяют дирекционный угол линии
| № | Четверть (направление) | связь румба и дирекционного угла | Знак приращения [math]\displaystyle{ \Delta X }[/math] | Знак приращения [math]\displaystyle{ \Delta Y }[/math] |
|---|---|---|---|---|
| 1 | северо-восток | [math]\displaystyle{ \alpha=r }[/math] | + | + |
| 2 | юго-восток | [math]\displaystyle{ \alpha=180-r }[/math] | - | + |
| 3 | юго-запад | [math]\displaystyle{ \alpha=180+r }[/math] | - | - |
| 4 | северо-запад | [math]\displaystyle{ \alpha=360-r }[/math] | + | - |
4) определяют горизонтальное проложение (длину линии)
[math]\displaystyle{ S = \frac{\Delta X}{\operatorname{cos}\alpha} }[/math]
[math]\displaystyle{ S = \frac{\Delta Y}{\operatorname{sin}\alpha} }[/math]
[math]\displaystyle{ S = \sqrt{\Delta X^2 + \Delta Y^2} }[/math].[3]
Задача Потенота
- Основная статья: Задача Потенота
Задача Потенота (обратная геодезическая засечка) — одна из классических математических задач определения местоположения точки на местности по трём ориентирам с известными координатами; возникает, например, при определении местоположения корабля в море по трём маякам, расстояние до которых неизвестно. Имеет более 100 аналитических и графических способов решения и является частным случаем более общей задачи трилатерации. Приобрела важное практическое значение в самых разных областях (геодезии, навигации, корректировке ракетно-артиллерийского огня[4]) и не потеряла актуальности по настоящее время.
Примечания
- ↑ п÷я─я▐п╪п╟я▐ п╦ п╬п╠я─п╟я┌п╫п╟я▐ пЁп╣п╬п╢п╣п╥ п╥п╟п╢п╟я┤п╦ — п║я┌я┐п╢п╬п©п╣п╢п╦я▐. Дата обращения: 13 октября 2019. Архивировано 13 октября 2019 года.
- ↑ Прямая геодезическая задача. Дата обращения: 13 октября 2019. Архивировано 15 октября 2019 года.
- ↑ Обратная геодезическая задача. Дата обращения: 13 октября 2019. Архивировано 10 января 2022 года.
- ↑ Справочник командира взвода управления батареи дивизионной артиллерии. — Москва: Военное издательство Народного Комиссариата Обороны, 1943.
Дополнительная литература
- Моторный A. Д. Задача Потенота (аналитическое решение) // Научные записки ЛПИ, серия геодезическая № 1. — 1949. — Вып. XV. — С. 165—171.
- Обратная однократная засечка // Справочник геодезиста. книга 2 / Под ред. В. Д. Большакова и Г. П. Левчука. — 3-е изд. перераб и доп.. — Москва: Недра, 1985. — С. 194. — 440 с.