Задача Потенота
Задача Потенота (обратная геодезическая засечка), также известен как "проблема Снеллиуса", потому что Виллеброрд Снелл (Snellius) был первым, кто нашел решение этой проблемы (1615[1]). — одна из классических математических задач определения местоположения точки на местности по трём ориентирам с известными координатами; возникает, например, при определении местоположения корабля в море по трём маякам, расстояние до которых неизвестно. Имеет более 100 аналитических и графических способов решения и является частным случаем и обобщением задач трилатерации и триангуляции. Приобрела важное практическое значение в самых разных областях (геодезии, навигации, корректировке ракетно-артиллерийского огня[2]) и не потеряла актуальности по настоящее время.
Формулировка задачи Потенота
Найти точку плоскости, из которой стороны данного (плоского) треугольника видны под заданными углами. Для определения координат точки наблюдения путем проведения только угловых измерений по меньшей мере до трех других точек на плоской плоскости, известных в координатах (2-мерных). Этот метод использовался в то время, когда точное измерение расстояний было непростым делом, как в случае с триангуляцией. Углы обычно измеряются с помощью теодолита. В дополнение к методу решения Снеллиуса ученые Коллинз и Кассини нашли альтернативное решение.
Замечание. Если все эти углы равны между собой и равны 120 градусам, то искомая точка есть Точка Торричелли. Определяемая точка при этом не должна находиться вблизи окружности, проходящей через три исходных пункта[3].
История
Впервые решить задачу аналитически удалось голландскому математику Снеллиусу в 1615 году[4]. Однако в 1692 году французский математик Л. Потенот (1660—1732) предложил более удачное решение этой задачи, которая впоследствии получила его имя[5]. В разное время ею занимались картографы И. Г. Леман (1765—1811), А. П. Болотов (1803—1853), А. Д. Моторный (1891—1964) и др.
Порядок решение задачи способом Деламбра
1. Вычисляют дирекционный угол направления с исходного пункта 1 на определяемую точку «0» по формуле:[6]
[math]\displaystyle{ \mathrm{tg} \alpha _{1-0} = \frac{\Delta Y_{2-1} * {\operatorname{ctg}\beta_1} + \Delta Y_{1-3} * {\operatorname{ctg}\beta_2} - x_2 + x_3}{\Delta X_{2-1} * {\operatorname{ctg}\beta_1} + \Delta X_{1-3} * {\operatorname{ctg}\beta_2} + y_2 - y_3} }[/math].
2. Определяют дирекционные углы направлений с других исходных пунктов — 2, 3, 4.
[math]\displaystyle{ \mathrm{tg} \alpha _{2-0} = a_{1-0} + \beta_1 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathrm{tg} \alpha _{3-0} = a_{1-0} + \beta_2 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathrm{tg} \alpha _{4-0} = a_{1-0} + \beta_3 }[/math]
3. Используя формулы тангенсов или котангенсов дирекционных углов направлений с исходных пунктов на определяемую точку Р, вычисляют координаты точки Р в двух комбинациях. Вторая комбинация является независимой и контрольной.
I комбинация
[math]\displaystyle{ \mathrm{x}_{0} = \frac{x_{1} * {\operatorname{tg}\alpha_{1-0}} - x_{2} * {\operatorname{tg}\alpha_{2-0}} - y_1 + y_2}{\operatorname{tg}\alpha_{1-0} - \operatorname{tg}\alpha_{2-0}} }[/math].
[math]\displaystyle{ \mathrm{y'}_{0} = {y_{1} + \Delta X_{1-0} * {\operatorname{tg}\alpha_{1-0}}} }[/math].
[math]\displaystyle{ \mathrm{y''}_{0} = {y_{2} + \Delta X_{2-0} * {\operatorname{tg}\alpha_{2-0}}} }[/math].
II комбинация
[math]\displaystyle{ \mathrm{x}_{0} = \frac{x_{3} * {\operatorname{tg}\alpha_{3-0}} - x_{4} * {\operatorname{tg}\alpha_{4-0}} - y_3 + y_4}{\operatorname{tg}\alpha_{3-0} - \operatorname{tg}\alpha_{4-0}} }[/math].
[math]\displaystyle{ \mathrm{y'}_{0} = {y_{3} + \Delta X_{3-0} * {\operatorname{tg}\alpha_{3-0}}} }[/math].
[math]\displaystyle{ \mathrm{y''}_{0} = {y_{4} + \Delta X_{4-0} * {\operatorname{tg}\alpha_{4-0}}} }[/math].
Примечания
- ↑ Inleiding landmeetkunde, ir. J.E. Alberda, Delftse Uitgevers Maatschappij, 3e druk 1981
- ↑ Справочник командира взвода управления батареи дивизионной артиллерии. — Москва: Военное издательство Народного Комиссариата Обороны, 1943.
- ↑ В.Д. Большаков, Е.Б. Клюшин, И.Ю. Васютинский Под Редакцией В.П. Савинных и В.Р. Ященко. [Общие принципы создания планово-высотного обоснования для топографо-геодезических изысканий 4.2 Съемочная геодезическая сеть] // Геодезия изыскания и проектирование инженерных сооружений. — Москва: "Недра", 1991. — С. 79. — 237 с.
- ↑ Inleiding landmeetkunde, ir. J.E. Alberda, Delftse Uitgevers Maatschappij, 3e druk 1981
- ↑ Н. Л.С. Хренов. Задача Потенота // «Квант» : науч.-поп. физ.-мат. журн. — М.: «Наука», 1973. — № 4. — С. 30—34. — ISSN 0130-2221.
- ↑ Пример 9. Обратная геодезическая засечка (задача Потенота) — Геодезическое обеспечение строительства. Дата обращения: 28 декабря 2019. Архивировано 7 июля 2021 года.
Литература
- Моторный A. Д. Задача Потенота (аналитическое решение) / / Научные записки ЛПИ, серия геодезическая № 1. — 1949. — Вып. XV. — С. 165—171.
- Обратная однократная засечка // Справочник геодезиста. книга 2 / Под ред. В. Д. Большакова и Г. П. Левчука. — 3-е изд. переаб и доп.. — Москва: Недра, 1985. — С. 194. — 440 с.