Вязкостное решение
Вязкостное решение — определённый тип слабого решения дифференциального уравнения в частных производных, а точнее вырожденного эллиптического уравнения.
Определения
Вырожденное эллиптическое уравнение
Дифференциальное уравнение в частных производных
- [math]\displaystyle{ F(x,u,Du,D^2 u) = 0 }[/math],
заданное в области [math]\displaystyle{ \Omega\subset \mathbb{R}^n }[/math], является вырожденным эллиптическим, если для любых двух симметричных матриц [math]\displaystyle{ X }[/math] и [math]\displaystyle{ Y }[/math] таких, что их разница [math]\displaystyle{ Y-X }[/math] положительно определенна, и любых значений [math]\displaystyle{ x \in \Omega }[/math], [math]\displaystyle{ u \in \mathbb{R} }[/math] и [math]\displaystyle{ p \in \mathbb{R}^n }[/math] выполняется неравенство
- [math]\displaystyle{ F(x,u,p,X) \geqslant F(x,u,p,Y). }[/math]
Примеры
- Уравнение Лапласа
- [math]\displaystyle{ -\Delta u = 0 }[/math].
- Любое уравнение первого порядка.
Вязкостное решение
Полунепрерывная сверху функция [math]\displaystyle{ u }[/math], заданная в [math]\displaystyle{ \Omega }[/math], называется вязкостным подрешением этого уравнения, если для любой точки [math]\displaystyle{ x_0 \in \Omega }[/math] и любой гладкой функции [math]\displaystyle{ \phi }[/math] такой, что [math]\displaystyle{ \phi(x_0) = u(x_0) }[/math] и [math]\displaystyle{ \phi \geqslant u }[/math] в некоторой окрестности [math]\displaystyle{ x_0 }[/math], выполняется неравенство
- [math]\displaystyle{ F(x_0,\phi(x_0),D\phi(x_0),D^2 \phi(x_0)) \leqslant 0 . }[/math]
Аналогично полунепрерывная снизу функция [math]\displaystyle{ u }[/math], заданная в [math]\displaystyle{ \Omega }[/math], называется вязкостным надрешением этого уравнения, если для любой точки [math]\displaystyle{ x_0 \in \Omega }[/math] и любой гладкой функции [math]\displaystyle{ \phi }[/math] такой, что [math]\displaystyle{ \phi(x_0) = u(x_0) }[/math] и [math]\displaystyle{ \phi \leqslant u }[/math] в некоторой окрестности [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] выполняется неравенство
- [math]\displaystyle{ F(x_0,\phi(x_0),D\phi(x_0),D^2 \phi(x_0)) \geqslant 0 . }[/math]
Непрерывная функция [math]\displaystyle{ u }[/math] является вязкостным решением вырожденного эллиптического уравнения, если оно является подрешением и надрешением одновременно.
История
Термин впервые появляются в работе Крэндалла[англ.] и Лионса в 1983 году[1] для решений уравнения Гамильтона — Якоби. Определение фактически дано Эвансом[англ.] ранее, в 1980 году.[2] Определение было уточнено в совместной работе всех троих.[3]
Ссылки
- ↑ Crandall, Michael G. & Lions, Pierre-Louis (1983), Viscosity solutions of Hamilton-Jacobi equations, Transactions of the American Mathematical Society Т. 277 (1): 1–42, ISSN 0002-9947, DOI 10.2307/1999343
- ↑ Evans, Lawrence C. (1980), On solving certain nonlinear partial differential equations by accretive operator methods, Israel Journal of Mathematics Т. 36 (3): 225–247, ISSN 0021-2172, DOI 10.1007/BF02762047
- ↑ Crandall, Michael G.; Evans, Lawrence C. & Lions, Pierre-Louis (1984), Some properties of viscosity solutions of Hamilton-Jacobi equations, Transactions of the American Mathematical Society Т. 282 (2): 487–502, ISSN 0002-9947, DOI 10.2307/1999247
Литература
- Т. А. Белкина, Ю. М. Кабанов. Вязкостные решения интегродифференциальных уравнений для вероятности неразорения // ТВП. — 2015. — Т. 60, № 4. — С. 802–810. — doi:10.4213/tvp5036.