Вязкостное решение

Вязкостное решение — определённый тип слабого решения дифференциального уравнения в частных производных, а точнее вырожденного эллиптического уравнения.

Определения

Вырожденное эллиптическое уравнение

Дифференциальное уравнение в частных производных

[math]\displaystyle{ F(x,u,Du,D^2 u) = 0 }[/math],

заданное в области [math]\displaystyle{ \Omega\subset \mathbb{R}^n }[/math], является вырожденным эллиптическим, если для любых двух симметричных матриц [math]\displaystyle{ X }[/math] и [math]\displaystyle{ Y }[/math] таких, что их разница [math]\displaystyle{ Y-X }[/math] положительно определенна, и любых значений [math]\displaystyle{ x \in \Omega }[/math], [math]\displaystyle{ u \in \mathbb{R} }[/math] и [math]\displaystyle{ p \in \mathbb{R}^n }[/math] выполняется неравенство

[math]\displaystyle{ F(x,u,p,X) \geqslant F(x,u,p,Y). }[/math]

Примеры

• Уравнение Лапласа

  [math]\displaystyle{ -\Delta u = 0 }[/math].

• Любое уравнение первого порядка.

Вязкостное решение

Полунепрерывная сверху функция [math]\displaystyle{ u }[/math], заданная в [math]\displaystyle{ \Omega }[/math], называется вязкостным подрешением этого уравнения, если для любой точки [math]\displaystyle{ x_0 \in \Omega }[/math] и любой гладкой функции [math]\displaystyle{ \phi }[/math] такой, что [math]\displaystyle{ \phi(x_0) = u(x_0) }[/math] и [math]\displaystyle{ \phi \geqslant u }[/math] в некоторой окрестности [math]\displaystyle{ x_0 }[/math], выполняется неравенство

[math]\displaystyle{ F(x_0,\phi(x_0),D\phi(x_0),D^2 \phi(x_0)) \leqslant 0 . }[/math]

Аналогично полунепрерывная снизу функция [math]\displaystyle{ u }[/math], заданная в [math]\displaystyle{ \Omega }[/math], называется вязкостным надрешением этого уравнения, если для любой точки [math]\displaystyle{ x_0 \in \Omega }[/math] и любой гладкой функции [math]\displaystyle{ \phi }[/math] такой, что [math]\displaystyle{ \phi(x_0) = u(x_0) }[/math] и [math]\displaystyle{ \phi \leqslant u }[/math] в некоторой окрестности [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] выполняется неравенство

[math]\displaystyle{ F(x_0,\phi(x_0),D\phi(x_0),D^2 \phi(x_0)) \geqslant 0 . }[/math]

Непрерывная функция [math]\displaystyle{ u }[/math] является вязкостным решением вырожденного эллиптического уравнения, если оно является подрешением и надрешением одновременно.

История

Термин впервые появляются в работе Крэндалла и Лионса в 1983 году для решений уравнения Гамильтона — Якоби. Определение фактически дано Эвансом ранее, в 1980 году. Определение было уточнено в совместной работе всех троих.

Литература

• Т. А. Белкина, Ю. М. Кабанов. Вязкостные решения интегродифференциальных уравнений для вероятности неразорения (рус.) // ТВП. — 2015. — Т. 60, № 4. — С. 802–810. — doi:10.4213/tvp5036.