Вынужденные колебания

Вынужденные колебания — колебания, происходящие под воздействием внешних периодических сил.

Автоколебания отличаются от вынужденных колебаний тем, что последние вызваны периодическим внешним воздействием и происходят с частотой этого воздействия, в то время как возникновение автоколебаний и их частота определяются внутренними свойствами самой автоколебательной системы.

Наиболее простой и содержательный пример вынужденных колебаний можно получить из рассмотрения гармонического осциллятора и вынуждающей силы, которая изменяется по закону: [math]\displaystyle{ F(t) = F_0 \cos\left(\Omega t\right) }[/math].

Вынужденные колебания гармонического осциллятора

Консервативный гармонический осциллятор

Второй закон Ньютона для такого осциллятора запишется в виде: [math]\displaystyle{ ma = -kx + F_0 \cos\left(\Omega t\right) }[/math]. Если ввести обозначения: [math]\displaystyle{ \omega_0^2=\frac km, \quad \Phi_0=\frac{F_0}{m} }[/math] и заменить ускорение на вторую производную от координаты по времени, то получим следующее обыкновенное дифференциальное уравнение:

[math]\displaystyle{ \ddot x + \omega_0^2 x = \Phi_0 \cos (\Omega t) }[/math]

Решением этого уравнения будет сумма общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного. Общее решение однородного уравнения было уже получено здесь и оно имеет вид:

[math]\displaystyle{ x(t) = A \sin\left(\omega_0 t + \varphi\right) }[/math],

где [math]\displaystyle{ A, \varphi }[/math] — произвольные постоянные, которые определяются из начальных условий.

Найдём частное решение. Для этого подставим в уравнение решение вида: [math]\displaystyle{ x(t)=B \cos \left(\Omega t \right) }[/math] и получим значение для константы:

[math]\displaystyle{ B = \frac{\Phi_0}{\omega_0^2 - \Omega^2} }[/math]

Тогда окончательное решение запишется в виде:

[math]\displaystyle{ x(t)= A \sin\left(\omega_0 t + \varphi\right) + \frac{\Phi_0}{\omega_0^2 - \Omega^2}\cos\left(\Omega t \right) }[/math]

Резонанс

Из решения видно, что при частоте вынуждающей силы, равной частоте свободных колебаний, оно не пригодно — возникает резонанс, то есть «неограниченный» линейный рост амплитуды со временем. Из курса математического анализа известно, что решение в этом случае надо искать в виде: [math]\displaystyle{ x(t)=t \left(A \cos \left(\Omega t \right) + B \sin \left(\Omega t \right)\right) }[/math]. Подставим этот анзац в дифференциальное уравнение и получим, что

[math]\displaystyle{ A = 0 \qquad B = \frac{\Phi_0}{2\Omega} }[/math]

Таким образом, колебания в резонансе будут описываться следующим соотношением:

[math]\displaystyle{ x(t) = \frac{\Phi_0}{2\Omega} t \sin \left(\Omega t \right) }[/math]

Затухающий гармонический осциллятор

Второй закон Ньютона:

[math]\displaystyle{ ma = -kx - \alpha v + F_0 \cos\left(\Omega t\right) }[/math].

Переобозначения:

[math]\displaystyle{ \omega_0^2=\frac km, \qquad \Phi_0=\frac{F_0}{m}, \qquad \zeta = \frac {\alpha}{2\sqrt{k m}} }[/math]

Дифференциальное уравнение:

[math]\displaystyle{ \ddot x + 2\zeta\omega_0\dot x + \omega_0^2 x = \Phi_0 \cos\left(\Omega t\right) }[/math]

Его решение будет строиться, как сумма решений однородного уравнения и частного решения неоднородного. Анализ однородного уравнения приведён здесь. Получим и проанализируем частное решение.

Запишем вынуждающую силу следующим образом: [math]\displaystyle{ \Phi_0 \cos \Omega t = \Phi_0 Re\, e^{-i\Omega t} }[/math], тогда решение будем искать в виде: [math]\displaystyle{ x(t)=A e^{-i\Omega t} }[/math], где [math]\displaystyle{ A \in \mathbb C }[/math]. Подставим это решение в уравнение и найдём выражение для [math]\displaystyle{ A }[/math]:

[math]\displaystyle{ A=\frac{\Phi_0}{\omega_0^2-\Omega^2 - 2i\zeta\Omega}=\frac{\Phi_0\left(\omega_0^2-\Omega^2 + 2i\zeta\Omega\right)}{\left(\omega_0^2-\Omega^2\right)^2+4\zeta^2\Omega^2}=|A|e^{-i\varphi} }[/math]

где [math]\displaystyle{ |A|=\frac{\Phi_0}{\sqrt{\left(\omega_0^2-\Omega^2\right)^2+4\zeta^2\Omega^2}}, \qquad \varphi=-\arctan\frac{2\zeta\Omega}{\omega_0^2-\Omega^2} }[/math]

Полное решение имеет вид:

[math]\displaystyle{ x (t) = e^{- \zeta \omega_0 t} (c_1 \cos( \omega_\mathrm{d} t) + c_2 \sin( \omega_\mathrm{d} t )) + Re\left[\frac{\Phi_0\left(\omega_0^2-\Omega^2 + 2i\zeta\Omega\omega_0\right)}{\left(\omega_0^2-\Omega^2\right)^2+4\zeta^2\Omega^2\omega_0^2} e^{-i\Omega t}\right] }[/math],

где [math]\displaystyle{ \omega_\mathrm{d}=\omega_0 \sqrt{1- \zeta^2 } }[/math] — собственная частота затухающих колебаний.

Константы [math]\displaystyle{ c_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ c_2 }[/math] в каждом из случаев определяются из начальных условий: [math]\displaystyle{ \left\{\begin{array}{ccc}x(0) &=& x_0 \\ \dot{x}(0) &=& v_0 \end{array}\right. }[/math]

В этом случае, в отличие от осциллятора без трения, амплитуда колебаний в резонансе имеет конечную величину.

Если мы рассмотрим устоявший процесс, то есть ситуацию при [math]\displaystyle{ t\, \to\, \infty }[/math], то решение однородного уравнения будет стремиться к нулю и останется только частное решение:

[math]\displaystyle{ x(t \to \infty)=\Phi_0 \frac{\left(\omega_0^2-\Omega^2\right)\cos{\Omega t}+2\zeta\Omega\sin{\Omega t}}{\left(\omega_0^2-\Omega^2\right)^2+4\zeta^2\Omega^2} = \frac{\Phi_0}{\sqrt{(\omega_0^2 - \Omega^2)^2 + 4 \zeta^2\omega_0^2 \Omega^2 }} \cos (\Omega t - \varphi ) }[/math]

Это означает, что при [math]\displaystyle{ t\, \to\, \infty }[/math] система «забывает» начальные условия, и характер колебаний зависит только от вынуждающей силы.

Работа, совершаемая вынуждающей силой [math]\displaystyle{ F(t) = F_0 \cos\left(\Omega t\right) }[/math] за время [math]\displaystyle{ dt\ }[/math], равна [math]\displaystyle{ F dx\ }[/math], а мощность [math]\displaystyle{ P = F \frac{dx}{dt} }[/math]. Из уравнения

[math]\displaystyle{ \ddot x + 2\zeta\omega_0 \dot x + \omega_0^2 x = \Phi_0 \cos\left(\Omega t\right) }[/math]

следует, что

[math]\displaystyle{ P(t) = F \dot x = ( \ddot x + 2\zeta\omega_0 \dot x + \omega_0^2 x )m \dot x }[/math]

Если учесть, что при установившихся вынужденных колебаниях

[math]\displaystyle{ x\, = A\, \cos ( \Omega t - \varphi ) }[/math]

[math]\displaystyle{ \dot x = - A \Omega \sin ( \Omega t - \varphi ) }[/math]

[math]\displaystyle{ \ddot x = - A \Omega ^2 \cos ( \Omega t - \varphi ) }[/math]

то тогда средняя за период [math]\displaystyle{ T = \frac{2 \pi }{ \Omega } }[/math] мощность:

[math]\displaystyle{ P = \frac{m}{T} \int_0^T ( \ddot x + 2\zeta\omega_0 \dot x + \omega_0^2 x ) \dot x dt = A^2 m \zeta\omega_0 \Omega ^2 }[/math]

Работа за период

[math]\displaystyle{ W = m \int_0^T ( \ddot x + 2\zeta\omega_0 \dot x + \omega_0^2 x ) \dot x dt = A^2 m \zeta\omega_0 \Omega ^2 T =2\pi A^2 m \zeta\omega_0 \Omega }[/math]

Литература

Бутиков Е.И. Собственные колебания линейного осциллятора. Учебное пособие (неопр.). Архивировано 11 марта 2012 года.
Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн.

См. также