Дисперсия Аллана

Дисперсия Аллана (англ. Allan variance, AVAR), названная в честь Дэвида В. Аллана дисперсия, основанная на двойной выборке. Является мерой стабильности частоты различных устройств, в особенности часов и генераторов. Она также известна как квадрат СКДО (среднее квадратическое относительное двухвыборочное отклонение) частоты. Отклонение Аллана так же известно как сигма-тау (sigma-tau) и равно квадратному корню из дисперсии Аллана.

Дисперсия Аллана предназначена для оценки стабильности, обусловленной шумовыми процессами, а не систематическими ошибками или несовершенствами, такими как дрейф частоты или температурные эффекты.

N-выборочная дисперсия является мерой стабильности частоты с помощью N выборок, времени Т между измерениями и времени наблюдения [math]\displaystyle{ \tau }[/math].

К определению [math]\displaystyle{ N }[/math]-точечной дисперсии

N-точечная дисперсия вводится следующим образом:

[math]\displaystyle{ \sigma_y^2(N, T, \tau) = \frac{1}{N-1}\sum\limits_{i=1}^N\left(\bar{y}_i - \frac{1}{N}\sum\limits_{j=1}^N \bar{y}_j\right), }[/math]

где [math]\displaystyle{ \bar{y}_i }[/math] — среднее значение измеряемой величины во время [math]\displaystyle{ i }[/math]-го измерения.

Дисперсия Аллана определяется как выборочная дисперсия при [math]\displaystyle{ N=2, \tau = T }[/math]:

[math]\displaystyle{ \sigma_y^2(\tau) = \sigma_y^2(2, \tau, \tau) =\left\langle\frac{(\bar y_{n+1} - \bar y_n)^2}{2}\right\rangle, }[/math]

где под [math]\displaystyle{ \langle ... \rangle }[/math] понимается усреднение в бесконечных пределах, [math]\displaystyle{ \overline y_n }[/math] — n-ное измерение, полученное усреднением выборки длительностью [math]\displaystyle{ \tau }[/math]:

[math]\displaystyle{ \bar y_n = \frac{1}{\tau}\int\limits^{t_{k+1}}_{t_k}y(t)dt,~~~~~ t_{k+1} - t_k = \tau }[/math]

Примечания

Если случайная величина содержит случайное постоянное смещение, или линейную регрессию, то вклад от таких компонент в Дисперсию Аллана будет равен нулю.

Действительно, если, например, оцениваемая частота линейно нарастает, то приращение частоты на одинаковых интервалах времени будет одним и тем же, разность приращений будет равна нулю. Поэтому было бы ошибочно отождествлять эту характеристику с характеристикой точности стандартов частоты, часов или иных генераторов. Она характеризует лишь стабильность их работы. Работа стандарта частоты будет по этому критерию оценена как стабильная, даже в том случае, если подобный генератор не только "стабильно отклоняется" от требуемого значения частоты генерации, но и в случае, если скорость этого отклонения постоянна.

Подобная характеристика потребовалась в предположении о том, что уход частоты любого генератора за бесконечное время может быть бесконечным. Поэтому потребовалась оценка, являющаяся конечной даже в этом случае.

Разумеется, ни один генератор не может генерировать частоту, уход которой за бесконечное время может принимать бесконечное значение, поскольку в силу физических принципов, заложенных в его работу, любой генератор может формировать частоту лишь в ограниченном диапазоне.