Эпсилон-сеть

ε-сеть (эпсилон-сеть, ε-плотное множество) для подмножества [math]\displaystyle{ M }[/math] метрического пространства [math]\displaystyle{ X }[/math] есть множество [math]\displaystyle{ Z }[/math] из того же пространства [math]\displaystyle{ X }[/math] такое, что для любой точки [math]\displaystyle{ x\in M }[/math] найдётся точка [math]\displaystyle{ z\in Z }[/math], удалённая от [math]\displaystyle{ x }[/math] не более чем на ε.

Связанные определения

• Метрическое пространство, в котором для каждого [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math] существует конечная [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math]-сеть, называется вполне ограниченным.

• Метрика [math]\displaystyle{ \rho }[/math] на множестве [math]\displaystyle{ X }[/math] называется вполне ограниченной, если [math]\displaystyle{ (X,\rho) }[/math] — вполне ограниченное метрическое пространство.

• Семейство метрических пространств [math]\displaystyle{ (X_\alpha,\rho_\alpha) }[/math] таких, что для любого [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math] есть натуральное число [math]\displaystyle{ N_\varepsilon }[/math] такое, что каждое пространство [math]\displaystyle{ (X_\alpha,\rho_\alpha) }[/math] допускает [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math]-сеть из не более чем [math]\displaystyle{ N_\varepsilon }[/math] точек называется универсально вполне ограниченной.
  • Для таких семейств выполняется аналог теоремы Громова о компактности.

• Топологическое пространство, гомеоморфное вполне ограниченному метрическому пространству, называется метризуемым вполне ограниченной метрикой.

Примеры

• Для стандартной метрики множество рациональных чисел — ε-сеть для множества вещественных для любого ε > 0.
• Множество целых чисел — ε-сеть для множества вещественных для [math]\displaystyle{ \varepsilon\ge 0{,}5 }[/math]

Свойства

• Метрическое пространство имеет эквивалентную вполне ограниченную метрику тогда и только тогда, когда оно сепарабельно.
• Топологическое пространство метризуемо вполне ограниченной метрикой тогда и только тогда, когда оно регулярно и удовлетворяет второй аксиоме счётности.
• Метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда оно полно и вполне ограниченно. В чуть более общей формулировке, теорема Хаусдорфа о компактности гласит, что для относительной компактности подмножества [math]\displaystyle{ M }[/math] метрического пространства [math]\displaystyle{ X }[/math] необходимо, а в случае полноты пространства [math]\displaystyle{ X }[/math] и достаточно, чтобы при любом [math]\displaystyle{ \varepsilon \gt 0 }[/math] существовала конечная ε-сеть из элементов множества [math]\displaystyle{ M }[/math].

Доказательство

Необходимость

Пусть множество [math]\displaystyle{ M }[/math] (относительно) компактно. Зафиксируем [math]\displaystyle{ \varepsilon \gt 0 }[/math] и рассмотрим любой элемент [math]\displaystyle{ x_{1} \in M }[/math]. Если [math]\displaystyle{ \rho(x, x_{1}) \lt \varepsilon }[/math] для любого [math]\displaystyle{ x \in M }[/math], то конечная ε-сеть из одного элемента уже построена. В противном случае найдется элемент [math]\displaystyle{ x_{2} \in M }[/math] такой, что [math]\displaystyle{ \rho(x_{2}, x_{1}) \geqslant \varepsilon }[/math]. Имеются далее две возможности. Либо для любого [math]\displaystyle{ x \in M }[/math] по крайней мере одно из чисел [math]\displaystyle{ \rho(x, x_{1}) }[/math] или [math]\displaystyle{ \rho(x, x_{2}) }[/math] меньше [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math], и тогда конечная ε-сеть из двух элементов уже построена, либо найдется элемент [math]\displaystyle{ x_{3} \in M }[/math] такой, что [math]\displaystyle{ \rho(x_{3}, x_{1}) \geqslant \varepsilon }[/math], [math]\displaystyle{ \rho(x_{3}, x_{2}) \geqslant \varepsilon }[/math], и так далее. Покажем, что процесс построения точек [math]\displaystyle{ x_{1}, x_{2}, \ldots }[/math] оборвется после конечного числа шагов, что означает, что конечная ε-сеть будет построена. Если бы это было не так, то получилась бы последовательность [math]\displaystyle{ x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{n}, \ldots }[/math], для которой [math]\displaystyle{ \rho(x_{i}, x_{j}) \geqslant \varepsilon }[/math] при [math]\displaystyle{ i \neq j }[/math]. Но тогда ни сама последовательность [math]\displaystyle{ \{ x_{n} \}, }[/math] ни любая её подпоследовательность не может сходиться, что противоречит компактности множества [math]\displaystyle{ M }[/math]. Итак, для компактного множества [math]\displaystyle{ M }[/math] мы построили конечную ε-сеть, точки которой принадлежат самому множеству.

Достаточность

Пусть при любом [math]\displaystyle{ \varepsilon \gt 0 }[/math] существует ε-сеть для множества [math]\displaystyle{ M }[/math]. Возьмем числовую последовательность [math]\displaystyle{ \mathcal{f} \varepsilon_{n} \mathcal{g} }[/math], где [math]\displaystyle{ \varepsilon_{n} \rightarrow 0 }[/math] при [math]\displaystyle{ n \rightarrow \infty }[/math] и для каждого [math]\displaystyle{ n }[/math] построим [math]\displaystyle{ \varepsilon_{n} }[/math]-сеть [math]\displaystyle{ N_{n} = \{ z_{1}^{(n)}, z_{2}^{(n)}, \ldots, z_{m_{n}}^{(n)} \} }[/math]. Рассмотрим произвольную последовательность [math]\displaystyle{ \{ x_{n} \} \in M }[/math]. Так как [math]\displaystyle{ N_{1} }[/math] есть [math]\displaystyle{ \varepsilon_{1} }[/math]-сеть для [math]\displaystyle{ M }[/math], то, каков бы ни был элемент [math]\displaystyle{ x \in M }[/math], будем иметь, что [math]\displaystyle{ \rho(x, z_{i}^{(1)}) \lt \varepsilon_{1} }[/math] для хотя бы одного элемента [math]\displaystyle{ z_{i}^{(1)} \in N_{1} }[/math]. Поэтому любой элемент [math]\displaystyle{ x \in M }[/math] попадает хотя бы в один шар [math]\displaystyle{ S(z_{i}^{(1)}, \varepsilon_{1}), i=1, 2, \ldots, m_{1} }[/math], то есть все множество [math]\displaystyle{ M }[/math], а тем более вся последовательность [math]\displaystyle{ \{ x_{n} \} }[/math] разместится в этих шарах. Так как шаров конечное число, а последовательность [math]\displaystyle{ \{ x_{n} \} }[/math] бесконечна, то найдется хотя бы один шар [math]\displaystyle{ S(z_{i}^{(1)}, \varepsilon_{1}) }[/math], который будет содержать бесконечную подпоследовательность [math]\displaystyle{ \{ x_{n}^{(1)} \} }[/math] нашей последовательности. Это рассуждение можно повторить и для [math]\displaystyle{ N_{m}, m = 2, 3, \ldots }[/math]. Составим диагональную подпоследовательность [math]\displaystyle{ x_{1}^{(1)}, x_{2}^{(2)}, \ldots, x_{k}^{(k)}, \ldots }[/math]. Покажем, что эта последовательность сходится в себе. Так как [math]\displaystyle{ x_{k}^{(k)} }[/math] и [math]\displaystyle{ x_{k+p}^{(k+p)} }[/math] при [math]\displaystyle{ p\gt 0 }[/math] входят в [math]\displaystyle{ k }[/math]-ю подпоследовательность, а [math]\displaystyle{ k }[/math]-я подпоследовательность содержится в шаре [math]\displaystyle{ S(z_{i}^{(k)}, \varepsilon_{k}) }[/math], то [math]\displaystyle{ \rho(x_{k+p}^{(k+p)}, x_{k}^{(k)}) \leqslant \varepsilon_{k} \rightarrow 0 }[/math] при [math]\displaystyle{ k \rightarrow \infty }[/math]. По предположению, пространство [math]\displaystyle{ X }[/math] полное. Поэтому из сходимости в себе последовательности [math]\displaystyle{ \{ x_{k}^{(k)} \} }[/math] следует её сходимость к некоторому пределу, а это и доказывает возможность выделения из любой последовательности [math]\displaystyle{ \{ x_{n} \} }[/math] сходящейся подпоследовательности, то есть (относительная) компактность множества [math]\displaystyle{ M. }[/math]

• Полное метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда для любого [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math] в нём существует компактная ε-сеть.

Литература

• Д. Ю. Бураго, Ю. Д. Бураго, С. В. Иванов. Курс метрической геометрии. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004, 512 стр. ISBN 5-93972-300-4.
• Энгелькинг, Р. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — 752 с.