Теорема Асколи — Арцела
Теорема Арцела́ — утверждение, которое представляет собой критерий предкомпактности множества в полном метрическом пространстве в том специальном случае, когда рассматриваемое пространство — пространство непрерывных функций на отрезке вещественной прямой. Названа в честь автора, Чезаре Арцела.
Теорема Арцела — Асколи (или Асколи — Арцела) — это обобщение теоремы Арцела на тот случай, когда рассматриваются семейства отображений метрических компактов (обобщённая теорема Арцела).
Применение теоремы Арцела связано со специальными свойствами рассматриваемых семейств, а именно: с равномерной ограниченностью и равностепенной непрерывностью.
Введение
В математическом анализе (а затем и в функциональном анализе) рассматриваются всевозможные семейства непрерывных функций, заданных на специальных множествах (метрических компактах) и исследуется вопрос о «полноте» таких семейств. В частности, возникает вопрос о существовании предела, например, у последовательности непрерывных числовых функций, заданных на отрезке [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math], а также о свойствах данного предела. Согласно критерию Коши, равномерный предел непрерывных функций, также является непрерывной функцией, что означает полноту пространства [math]\displaystyle{ C[a,b] }[/math]. Существенным здесь является то, что область определения функций — компактное подмножество вещественной прямой (отрезок), а функции принимают значение в полном метрическом пространстве. Аналогичный результат мы получим если возьмём класс непрерывных отображений произвольного метрического компакта в полное метрическое пространство.
Полнота класса [math]\displaystyle{ C[a,b] }[/math] позволяет приблизить всякую непрерывную функцию последовательностью приближений, каждое из которых является функцией в некотором смысле «более простой» чем исходная. Об этом говорит теорема Вейерштрасса: каждую непрерывную функцию на отрезке можно сколь угодно точно приблизить полиномами.
Теорема Арцела относится к тому случаю, когда рассматривается некоторое семейство непрерывных функций [math]\displaystyle{ F\subset C(K,Y) }[/math], где [math]\displaystyle{ K }[/math] — метрический компакт, а [math]\displaystyle{ Y }[/math] — полное метрическое пространство, и исследуется вопрос о том, можно ли выделить из этого семейства сходящуюся подпоследовательность. Поскольку пространство [math]\displaystyle{ C(K,Y) }[/math] полное, то существование предельной точки означает, по существу, предкомпактность семейства [math]\displaystyle{ F }[/math] в [math]\displaystyle{ C(K,Y) }[/math]. Поэтому теорему можно сформулировать в общем виде, говоря именно о предкомпактности.
Таким образом, Теорема Арцела представляет собой критерий предкомпактности семейства непрерывных функций, заданных на компакте и действующих в полное метрическое пространство.
Существующий критерий предкомпактности множества в полном пространстве требует проверки вполне ограниченности данного множества. На практике, такой критерий не является эффективным. Поэтому представляется целесообразным каким-то образом использовать свойства самих функций, входящих в семейство, чтобы получить критерий предкомпактности, пригодный для применения на практике.
В ходе исследований оказалось, что такими свойствами являются свойства равномерной ограниченности и равностепенной непрерывности рассматриваемого семейства.
Упоминание о равностепенной непрерывности было сделано одновременно Джулио Асколи(1883—1884)[1] и Чезаре Арцела (1882—1883)[2]. Слабая форма теоремы была доказана Асколи в 1883—1884[1], который установил достаточное условия компактности, и Арцелой в 1895[3], который привёл необходимое условие и дал первую чёткую интерпретацию результата. Дальнейшее обобщение теоремы было доказано Фреше (1906)[4] для пространств, в которых понятие предела имеет смысл, например, метрического пространства или хаусдорфового Данфорд, Шварц (1958)[5]. Современные формулировки теоремы позволяют области и диапазону быть метрическими пространствами. Наиболее общая формулировка теоремы даёт необходимое и достаточное условия для того, чтобы семейство функций из компактного хаусдорфового пространства в Равномерное пространство[англ.] было компактным в топологии равномерной сходимости Бурбаки (1998, § 2.5)[6].
Определения
Рассмотрим пространство [math]\displaystyle{ C[a,b] }[/math] непрерывных функций, заданных на отрезке [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math], вместе с метрикой равномерной сходимости. Это — полное метрическое пространство. Известно, что:
- Для того, чтобы некоторое подмножество полного метрического пространства было предкомпактным, необходимо и достаточно, чтобы оно было вполне ограниченным.
В случае пространства [math]\displaystyle{ C[a,b] }[/math], однако, можно использовать более эффективный критерий предкомпактности, но для этого придётся ввести два следующих ниже понятия.
Положим, что [math]\displaystyle{ F }[/math] — некоторое семейство непрерывных функций, заданных на отрезке [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math].
Равномерная ограниченность
Семейство [math]\displaystyle{ F }[/math] называется равномерно ограниченным, если существует единая для всех элементов семейства постоянная [math]\displaystyle{ K }[/math], которой ограничены все функции семейства:
- [math]\displaystyle{ \forall f\in F\quad\forall x\in[a,b]\quad |f(x)|\lt K }[/math].
Равностепенная непрерывность
Семейство [math]\displaystyle{ F }[/math] называется равностепенно непрерывным, если для любого [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math] существует [math]\displaystyle{ \delta\gt 0 }[/math] такая, что для всякого элемента [math]\displaystyle{ f\in F }[/math] и для любых точек [math]\displaystyle{ x_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ x_2 }[/math] таких, что [math]\displaystyle{ |x_1-x_2|\lt \delta }[/math], выполняется строгое неравенство [math]\displaystyle{ |f(x_1)-f(x_2)|\lt \varepsilon }[/math].
Формулировка
Функциональное семейство [math]\displaystyle{ F }[/math] является предкомпактным в полном метрическом пространстве [math]\displaystyle{ C[a,b] }[/math] тогда и только тогда, когда это семейство является
- равномерно ограниченным
- равностепенно непрерывным.
Доказательство
Фактически, необходимо показать, что оба указанных свойства семейства функций эквивалентны вполне ограниченности данного семейства.
Необходимость
Итак, пусть семейство [math]\displaystyle{ F }[/math] — вполне ограниченное.
Фиксируем [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math] и построим конечную [math]\displaystyle{ (\varepsilon/3) }[/math]-сеть вида: [math]\displaystyle{ \{\varphi_i\}_{i=1}^n }[/math].
Поскольку каждая функция данной системы непрерывна и, следовательно, ограничена, то для каждой такой функции существует своя константа [math]\displaystyle{ K_i }[/math] такая что, [math]\displaystyle{ |\varphi_i(x)|\lt K_i }[/math] для всякого [math]\displaystyle{ x\in[a,b] }[/math].
Поскольку таких функций конечное множество, то можно взять [math]\displaystyle{ K=\max_{i} K_i+\varepsilon/3 }[/math].
Теперь, если взять произвольную функцию [math]\displaystyle{ f\in F }[/math], то для этой функции существует такой элемент [math]\displaystyle{ \varphi_i }[/math] [math]\displaystyle{ (\varepsilon/3) }[/math]-сети, что [math]\displaystyle{ |f(x)-\varphi_i(x)|\lt \varepsilon/3 }[/math] для всякого [math]\displaystyle{ x\in[a,b] }[/math]. Очевидно, что в этом случае функция [math]\displaystyle{ f }[/math] будет ограничена константой [math]\displaystyle{ K }[/math].
Тем самым показано, что семейство [math]\displaystyle{ F }[/math] является равномерно ограниченным.
Опять же, в силу непрерывности каждого элемента [math]\displaystyle{ (\varepsilon/3) }[/math]-сети, этот элемент оказывается также и равномерно непрерывным и, следовательно, по [math]\displaystyle{ (\varepsilon/3) }[/math] можно подобрать такое [math]\displaystyle{ \delta_i }[/math] такое, что [math]\displaystyle{ |\varphi_i(x_1)-\varphi_i(x_2)|\lt \varepsilon/3 }[/math] для любых точек [math]\displaystyle{ x_1,x_2\in[a,b] }[/math] таких, что [math]\displaystyle{ |x_1-x_2|\lt \delta_i }[/math].
Положим [math]\displaystyle{ \delta=\min_{i}\delta_i }[/math].
Если теперь рассмотреть произвольную функцию [math]\displaystyle{ f\in F }[/math], то для заданного [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math] будет иметь место строгое неравенство [math]\displaystyle{ |f(x_1)-f(x_2)|\lt \varepsilon }[/math] для любых точек [math]\displaystyle{ x_1,x_2\in[a,b] }[/math] таких, что [math]\displaystyle{ |x_1-x_2|\lt \delta }[/math].
Действительно, [math]\displaystyle{ |f(x_1)-f(x_2)|\leqslant |f(x_1)-\varphi_i(x_1)|+|\varphi_i(x_1)-\varphi_i(x_2)|+|\varphi_i(x_2)-f(x_2)|\lt \varepsilon/3+\varepsilon/3+\varepsilon/3=\varepsilon }[/math], где [math]\displaystyle{ \varphi_i }[/math] — подходящий элемент [math]\displaystyle{ (\varepsilon/3) }[/math]-сети.
Тем самым показано, что семейство [math]\displaystyle{ F }[/math] является равностепенно непрерывным.
Другими словами, вполнеограниченность влечёт равномерную ограниченность и равностепенную непрерывность.
Достаточность
Теперь необходимо доказать, что равномерная ограниченность и равностепенная непрерывность семейства [math]\displaystyle{ F }[/math] влечёт существование конечной [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math]-сети для всякого конечного [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math].
Фиксируем [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math].
Пусть [math]\displaystyle{ K }[/math] — это константа, которая фигурирует в определении равномерной ограниченности.
Выберем такое [math]\displaystyle{ \delta\gt 0 }[/math], которое фигурирует в определении равномерной непрерывности и соответствует величине [math]\displaystyle{ \varepsilon/5 }[/math].
Рассмотрим прямоугольник [math]\displaystyle{ [a,b]\times[-K,K] }[/math] и разобьём его вертикальными и горизонтальными прямыми на прямоугольные ячейки размером меньше чем [math]\displaystyle{ \delta }[/math] по горизонтали и [math]\displaystyle{ \varepsilon/5 }[/math] по вертикали. Пусть [math]\displaystyle{ x_1 }[/math], [math]\displaystyle{ x_2 }[/math], [math]\displaystyle{ \dots }[/math] , [math]\displaystyle{ x_N }[/math] — узлы этой решётки (по оси абсцисс).
Если теперь рассмотреть произвольную функцию [math]\displaystyle{ f\in F }[/math], то для каждого узла [math]\displaystyle{ x_i }[/math] решётки обязательно найдётся такая точка [math]\displaystyle{ (x_i,y_j) }[/math] решётки, что [math]\displaystyle{ |f(x_i)-y_j|\lt \varepsilon/5 }[/math]. Если теперь рассмотреть ломаную функцию [math]\displaystyle{ \varphi }[/math], которая в узлах принимает соответствующие значения, уклоняющиеся от функции не более чем на [math]\displaystyle{ \varepsilon/5 }[/math], то в силу того что сама функция уклоняется на каждом отрезке не более чем на [math]\displaystyle{ \varepsilon/5 }[/math], ломаная на каждом таком отрезке уклоняется не более чем на [math]\displaystyle{ 3\varepsilon/5 }[/math].
Поскольку каждая точка [math]\displaystyle{ x }[/math] отрезка [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] оказывается на одном из таких отрезков, скажем, [math]\displaystyle{ [x_k,x_k+1] }[/math], то получается что уклонение функции от построенной таким образом ломанной не превосходит [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math]:
- [math]\displaystyle{ |f(x)-\varphi(x)|\leqslant|f(x)-f(x_k)|+|f(x_k)-\varphi(x_k)|+|\varphi(x_k)-\varphi(x)| \lt \varepsilon/5+\varepsilon/5+3\varepsilon/5=\varepsilon }[/math].
Тем самым показано, что конечная (!) система ломанных функций указанного вида является [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math]-сетью для заданного [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math].
Приложения
Теорема Арцела находит своё применение в теории дифференциальных уравнений.
В теореме Пеано (о существовании решения задачи Коши) строится система функций, которая в теории дифференциальных уравнений носит название ломаных Эйлера. Эта система оказывается равномерно ограниченным и равностепенно непрерывным семейством функций, из которого, согласно теореме Арцела можно выделить равномерно сходящуюся последовательность функций, предел которой и будет искомым решением задачи Коши.
См. также
- Лемма Арцела
- Теорема Монтеля о компактном семействе функций — следствие из теоремы Арцела.
Литература
- Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. третье, переработанное. — М.: Наука, 1972. — 496 с.
Примечания
- ↑ 1,0 1,1 Ascoli, G. (1883—1884), «Le curve limiti di una varietà data di curve», Atti della R. Accad. Dei Lincei Memorie della Cl. Sci. Fis. Mat. Nat. 18 (3): 521—586.
- ↑ Arzelà, Cesare (1882—1883), «Un’osservazione intorno alle serie di funzioni», Rend. Dell' Accad. R. Delle Sci. Dell’Istituto di Bologna: 142—159.
- ↑ Arzelà, Cesare (1895), «Sulle funzioni di linee», Mem. Accad. Sci. Ist. Bologna Cl. Sci. Fis. Mat. 5 (5): 55-74.
- ↑ Fréchet, Maurice (1906), «Sur quelques points du calcul fonctionnel», Rend. Circ. Mat. Palermo 22: 1-74, doi:10.1007/BF03018603.
- ↑ Dunford, Nelson; Schwartz, Jacob T. (1958), Linear operators, volume 1, Wiley-Interscience.
- ↑ Bourbaki, Nicolas (1998), General topology. Chapters 5-10, Elements of Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, MR1726872, ISBN 978-3-540-64563-4.