Бета-функция
В математике бета-функцией ([math]\displaystyle{ \Beta }[/math]-функцией, бета-функцией Эйлера или интегралом Эйлера I рода) называется следующая специальная функция от двух переменных:
- [math]\displaystyle{ \Beta(x, y) = \int\limits_0^1 t^{x-1}(1 - t)^{y-1}\,dt, }[/math]
определённая при [math]\displaystyle{ \operatorname{Re} x \gt 0 }[/math], [math]\displaystyle{ \operatorname{Re} y \gt 0 }[/math].
Бета-функция была изучена Эйлером, Лежандром[когда?], а название ей дал Жак Бине.
Свойства
Бета-функция симметрична относительно перестановки переменных, то есть
- [math]\displaystyle{ \Beta(x, y) = \operatorname{\Beta}(y, x). }[/math]
Бета-функцию можно выразить через другие функции:
- [math]\displaystyle{ \Beta(x, y) = \frac{\Gamma(x) \Gamma(y)}{\Gamma(x + y)}, }[/math]
где [math]\displaystyle{ \Gamma(x) }[/math] — Гамма-функция;
- [math]\displaystyle{ \Beta(x, y) = 2 \int\limits_0^{\pi/2} \sin^{2x-1}\theta \cos^{2y-1}\theta \,d\theta, \quad \operatorname{Re} x \gt 0,\ \operatorname{Re} y \gt 0; }[/math]
- [math]\displaystyle{ \Beta(x, y) = \int\limits_0^\infty \frac{t^{x-1}}{(1 + t)^{x+y}} \,dt, \quad \operatorname{Re} x \gt 0,\ \operatorname{Re} y \gt 0; }[/math]
- [math]\displaystyle{ \Beta(x, y) = \frac{1}{y} \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{(y)_{n+1}}{n! (x + n)}, }[/math]
где [math]\displaystyle{ (x)_n }[/math] — нисходящий факториал, равный [math]\displaystyle{ x \cdot (x - 1) \cdot (x - 2) \cdot \ldots \cdot (x - n + 1) }[/math].
Подобно тому как гамма-функция для целых чисел является обобщением факториала, бета-функция является обобщением биномиальных коэффициентов с немного изменёнными параметрами:
- [math]\displaystyle{ \binom{n}{k} = \frac1{(n + 1) \Beta(n - k + 1, k + 1)}. }[/math]
Бета-функция удовлетворяет двумерному разностному уравнению:
- [math]\displaystyle{ \Beta(x, y) - \Beta(x + 1, y) - \Beta(x, y + 1) = 0. }[/math]
Производные
Частные производные у бета-функции следующие:
- [math]\displaystyle{ \frac{\partial}{\partial x}\Beta(x, y) = \Beta(x, y)\left(\frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)} - \frac{\Gamma'(x + y)}{\Gamma(x + y)}\right) = \Beta(x, y) \big(\psi(x) - \psi(x + y)\big), }[/math]
- [math]\displaystyle{ \frac{\partial}{\partial y}\Beta(x, y) = \Beta(x, y)\left(\frac{\Gamma'(y)}{\Gamma(y)} - \frac{\Gamma'(x + y)}{\Gamma(x + y)}\right) = \Beta(x, y) \big(\psi(y) - \psi(x + y)\big), }[/math]
где [math]\displaystyle{ \psi(x) }[/math] — дигамма-функция.
Неполная бета-функция
Неполная бета-функция — это обобщение бета-функции, заменяющее интеграл по отрезку [math]\displaystyle{ [0, 1] }[/math] на интеграл с переменным верхним пределом:
- [math]\displaystyle{ \Beta_x(a, b) = \int\limits_0^x t^{a-1} (1 - t)^{b-1} \,dt. }[/math]
При [math]\displaystyle{ x = 1 }[/math] неполная бета-функция совпадает с полной.
Регуляризованная неполная бета-функция определяется через полную и неполную бета-функции:
- [math]\displaystyle{ I_x(a, b) = \frac{\Beta_x(a, b)}{\Beta(a, b)}. }[/math]
Свойства [math]\displaystyle{ I(x) }[/math]
- [math]\displaystyle{ I_0(a, b) = 0, }[/math]
- [math]\displaystyle{ I_1(a, b) = 1, }[/math]
- [math]\displaystyle{ I_x(a, b) = 1 - I_{1-x}(b, a), }[/math]
- [math]\displaystyle{ I_x(a + 1, b) = I_x(a, b) - \frac{x^a (1 - x)^b}{a B(a, b)}. }[/math]
Примечания
Литература
Кузнецов Д. С. Специальные функции (1962) — 249 с.