Альтернативность

Альтернативность (бинарная ассоциативность) — свойство бинарной операции [math]\displaystyle{ \circ }[/math], являющееся ослабленным вариантом ассоциативности: для любых элементов [math]\displaystyle{ x,\;y }[/math]

• [math]\displaystyle{ \ (x \circ y) \circ y=x \circ (y \circ y) }[/math] — правая альтернативность,
• [math]\displaystyle{ \ y \circ (y \circ x)=(y \circ y) \circ x }[/math] — левая альтернативность.

Всякая ассоциативная операция является альтернативной; обратное в общем случае неверно: например, умножение октонионов альтернативно, но не ассоциативно.

Во всякой магме, пара элементов которой порождает ассоциативную подмагму, бинарная операция альтернативна. Обратное в общем случае неверно, но в случае неассоциативных колец из альтернативности кольца следует ассоциативность порождённых каждой парой элементов подколец (теорема Артина).

Исторически первый пример альтернативной структуры — числа Кэли, образующие альтернативное тело; важные приложения в физике имеются у альтернативных алгебр.

Другой вариант ослабления ассоциативности — степенная ассоциативность. Иногда это свойство считается более слабым, чем альтернативность, поскольку при некоторых дополнительных условиях из альтернативности следует степенная ассоциативность, но в общем случае это не так: например, для магмы из элементов [math]\displaystyle{ e_\star, e_1, e_2 \dots }[/math] с альтернативным умножением, введённым следующим образом:

• [math]\displaystyle{ e_i \circ e_j = e_{i+j} }[/math] кроме [math]\displaystyle{ e_3 \circ e_3 = e_\star }[/math],
• [math]\displaystyle{ e_\star \circ e_i = e_i \circ e_\star = e_{i+6} }[/math],
• [math]\displaystyle{ e_\star \circ e_\star = e_{12} }[/math]

степенная ассоциативность не выполняется:

[math]\displaystyle{ ((e_1 \circ e_1) \circ e_1) \circ ((e_1 \circ e_1) \circ e_1) = e_3 \circ e_3 = e_\star \neq e_6 = e_1^{6} }[/math].

Литература

• Курош А. Г. Общая алгебра. — М.: Мир, 1970. — 162 с.
• Кон П. Универсальная алгебра. — Москва: Мир, 1968. — 351 с.
• Альтернативные кольца и алгебры — статья из Математической энциклопедии. К. А. Жевлаков