Алгоритм Робинсона — Шенстеда

Алгоритм Робинсона — Шенстеда — комбинаторный алгоритм, впервые описанный Робинсоном в 1938, который устанавливает биективное соответствие между элементами симметрической группы [math]\displaystyle{ S_n }[/math] и парами стандартных таблиц Юнга той же формы. Он может рассматриваться как простое конструктивное доказательство тождества

[math]\displaystyle{ \sum_{\lambda\vdash n} (f^\lambda)^2= n! }[/math]

где [math]\displaystyle{ \lambda\vdash n }[/math] означает, что [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] пробегает все разбиения [math]\displaystyle{ n }[/math] и [math]\displaystyle{ f^\lambda }[/math] — количество стандартных диаграмм Юнга формы [math]\displaystyle{ \lambda }[/math]. Это достигается путём построения отображения из пар [math]\displaystyle{ \lambda }[/math]-таблиц [math]\displaystyle{ (P,Q) }[/math] в перестановки [math]\displaystyle{ \sigma }[/math].

Алгоритм

Алгоритм Робинсона — Шенстеда начинает работу с перестановки [math]\displaystyle{ \sigma }[/math], записанной в лексикографическом порядке:

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & \cdots & n\\ \sigma_1 & \sigma_2 & \sigma_3 & \cdots & \sigma_n \end{pmatrix} }[/math]

где [math]\displaystyle{ \sigma(i)=\sigma_i }[/math], и продолжает, создавая последовательность упорядоченных пар таблиц Юнга той же формы:

[math]\displaystyle{ (P_0,Q_0), (P_1,Q_1),(P_2,Q_2),\ldots,(P_n,Q_n), }[/math]

где [math]\displaystyle{ P_0 = Q_0 = \varnothing }[/math] — пустые таблицы. На выходе получаются таблицы [math]\displaystyle{ P=P_n }[/math] и [math]\displaystyle{ Q=Q_n }[/math].

На основе построенной [math]\displaystyle{ P_{i-1} }[/math] формируется [math]\displaystyle{ P_{i} }[/math] путём вставки Шенстеда (см. ниже) [math]\displaystyle{ \sigma(i) }[/math] в [math]\displaystyle{ P_{i-1} }[/math]. К [math]\displaystyle{ Q_{i} }[/math] добавляется [math]\displaystyle{ i }[/math] в квадрат, добавленный к форме при вставке, чтобы формы для [math]\displaystyle{ P_{i} }[/math] и [math]\displaystyle{ Q_{i} }[/math] были одинаковы для каждого [math]\displaystyle{ i }[/math]. Таким образом, стандартная таблица [math]\displaystyle{ P }[/math] записывает перестановку, а [math]\displaystyle{ Q }[/math] — регистрирует «рост» диаграммы Юнга.

Вставка (4):
• (4) заменяет (5) в первой строке
• (5) заменяет (8) во второй строке
• (8) записывается в начало новой строки

Неформальное описание вставки Шенстеда

Для вставки строки [math]\displaystyle{ x }[/math] в таблицу [math]\displaystyle{ T }[/math]:

   1. сделать первую строку T текущей
   2. в текущей строке найти первый элемент, который больше x
   3. если такой элемент найден
        обменять значения x и найденной ячейки
        сделать следующую строку текущей
        перейти на шаг 2.
      иначе:
        добавить x к концу текущей строки
        закончить

Вариации и обобщения

• Шенстед независимо обнаружил алгоритм и обобщил его для случая [math]\displaystyle{ \sigma }[/math] — любая последовательность из [math]\displaystyle{ n }[/math] чисел (то есть, возможно, с повторениями). В этом случае [math]\displaystyle{ P }[/math] является полустандартной.
• Алгоритм Робинсона — Шенстеда — Кнута был разработан Кнутом и устанавливает биективное соответствие между обобщенными перестановками (двустрочные массивы лексикографически упорядоченных положительных целых чисел) и парами полустандартных таблиц Юнга.

Литература

• Живые числа. — Сб. статей 1981. — М.: Мир, 1985. — С. 105-112. — 128 с.
• Уильям Фултон. Таблицы юнга и их приложения к теории представлений и геометрии = Young Tableaux With Application to Representation Theory and Geometry. — М.: Издательство МЦНМО, 2006. — ISBN 5-94057-165-4.
• Knuth, Donald E. Permutations, matrices, and generalized Young tableaux (англ.).
• Robinson, G. de B. On the Representations of the Symmetric Group (англ.) // American Journal of Mathematics. — The Johns Hopkins University Press, 1938. — Vol. 60, no. 3. — P. 745–760. — ISSN 0002-9327. — doi:10.2307/2371609.
• Schensted, C. Longest increasing and decreasing subsequences (англ.) // Canadian Journal of Mathematics. — 1961. — Vol. 13. — P. 179-191. — ISSN 0008-414X.
• Stanley, Richard P. Enumerative combinatorics. Vol. 2 (англ.). — Cambridge University Press, 1999. — Vol. 62.
• Zelevinsky, A. V. A generalization of the Littlewood–Richardson rule and the Robinson–Schensted–Knuth correspondence (англ.) // Journal of Algebra. — 1981. — Vol. 69, no. 1. — P. 82-94. — ISSN 0021-8693. — doi:10.1016/0021-8693(81)90128-9.