Символ Леви-Чивиты

Символ Ле́ви-Чиви́ты — математический символ, который используется в тензорном анализе. Назван в честь итальянского математика Туллио Леви-Чивиты. Обозначается [math]\displaystyle{ \varepsilon_{ijk} }[/math]. Здесь приведён символ для трёхмерного пространства, для других размерностей меняется количество индексов (см. ниже).

Другие названия:

абсолютно антисимметричный единичный тензор,
полностью антисимметричный единичный тензор,
абсолютно кососимметричный объект,
тензор Леви-Чивиты (символ Леви-Чивиты является компонентной записью этого тензора),
кососимметричный символ Кронекера (данный термин использовался в учебнике по тензорному исчислению Акивиса и Гольдберга).

Определение

В трёхмерном пространстве, в правом ортонормированном базисе (или вообще в правом базисе с единичным определителем метрики) символ Леви-Чивиты определяется следующим образом:

[math]\displaystyle{ \varepsilon_{ijk} = \begin{cases} +1, & P(i, j, k) = +1, \\ -1, & P(i, j, k) = -1, \\ 0, & i = j \bigvee j = k \bigvee k = i, \end{cases} }[/math]

то есть для чётной перестановки индексов i, j, k он равен 1 (для троек (1, 2, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2)), для нечётной перестановки — равен −1 (для троек (3, 2, 1), (1, 3, 2), (2, 1, 3)), а в остальных случаях равен нулю (при наличии повторяющихся индексов). Для компонент [math]\displaystyle{ \varepsilon_{ijk} }[/math] в левом базисе берутся противоположные числа.

Для общего случая (произвольных косоугольных координат с правой ориентацией базисных векторов) это определение обычно меняется на

[math]\displaystyle{ \varepsilon_{ijk} = \begin{cases} +\sqrt{g}, & P(i, j, k) = +1, \\ -\sqrt{g}, & P(i, j, k) = -1, \\ 0 & i = j \bigvee j = k \bigvee k = i, \end{cases} }[/math]

где [math]\displaystyle{ g }[/math] — определитель матрицы метрического тензора [math]\displaystyle{ g_{ij} }[/math], представляющий квадрат объёма параллелепипеда, натянутого на базис. Для компонент [math]\displaystyle{ \varepsilon_{ijk} }[/math] в левом базисе берутся противоположные числа.

Такой набор компонент [math]\displaystyle{ \varepsilon_{ijk} }[/math] представляет собой (истинный) тензор. Если, как это иногда делается в литературе, в качестве определения [math]\displaystyle{ \varepsilon_{ijk} }[/math] использовать приведённые выше формулы для любой — как правой, так и левой — системы координат, то получившийся набор чисел будет представлять псевдотензор. При этом [math]\displaystyle{ \varepsilon^{ijk} }[/math] будет таким же, но с заменой [math]\displaystyle{ \sqrt{g} }[/math] на [math]\displaystyle{ 1/\sqrt{g}. }[/math]

[math]\displaystyle{ \varepsilon_{ijk} }[/math] может определяться также как смешанное произведение векторов базиса, в котором символ применяется:

[math]\displaystyle{ \varepsilon_{ijk} = [\vec{e}_i \vec{e}_j \vec{e}_k]. }[/math]

Это определение для любого, правого или левого базиса, так как разница знака для левых и правых базисов заключена в смешанном произведении. Абсолютная величина каждой ненулевой компоненты равна объёму параллелепипеда, натянутого на базис [math]\displaystyle{ \{\vec {e_i}\} }[/math]. Тензор, как и положено, антисимметричен по любой паре индексов. Определение эквивалентно приведённым выше.

Иногда пользуются альтернативным определением символа Леви-Чивиты без множителя [math]\displaystyle{ \sqrt{g} }[/math] в любых базисах (то есть таким, что все его компоненты всегда равны ±1 или 0, как в определении выше для ортонормированных базисов). В этом случае он сам по себе не является представлением тензора. Домноженный же на [math]\displaystyle{ \sqrt{g} }[/math] объект (совпадающий с [math]\displaystyle{ \varepsilon_{ijk} }[/math] в определении выше и являющийся тензором) в этом случае обозначается другой буквой и называется, как правило, элементом объёма. Мы же здесь следуем определению Леви-Чивиты. (Это замечание имеет силу не только для трёхмерного пространства, но и для любой размерности.)

Геометрический смысл

Как видно уже из определения через смешанное произведение, символ Леви-Чивиты связан с ориентированным объёмом и ориентированной площадью, представленной как вектор.

В трёхмерном (евклидовом) пространстве смешанное произведение трёх векторов

[math]\displaystyle{ V = \varepsilon_{ijk} a^i b^j c^k }[/math]

— это ориентированный объём (псевдоскаляр, модуль которого равен объёму, а знак зависит от ориентации тройки векторов) параллелепипеда, натянутого на три вектора [math]\displaystyle{ \vec{a} }[/math], [math]\displaystyle{ \vec{b} }[/math] и [math]\displaystyle{ \vec{c} }[/math].

Векторное произведение двух векторов

[math]\displaystyle{ S_i = \varepsilon_{ijk} a^j b^k }[/math]

— это ориентированная площадь параллелограмма, стороны которого — векторы [math]\displaystyle{ \vec{a} }[/math] и [math]\displaystyle{ \vec{b} }[/math], представленная псевдовектором, длина которого равна площади, а направление — ортогонально к плоскости параллелограмма.

Этот смысл сохраняется для любой размерности пространства n, если, конечно, брать [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] с соответствующим количеством индексов, под объёмом понимать n-мерный объём, а под площадью — (n − 1)-мерную (гипер-)площадь. При этом, естественно, в соответствующую формулу входит n и (n − 1) векторов — сомножителей. Например, для 4-мерного (евклидова) пространства:

[math]\displaystyle{ V = \varepsilon_{ijkm} a^i b^j c^k d^m, }[/math]

[math]\displaystyle{ S_i = \varepsilon_{ijkm} a^j b^k c^m. }[/math]

Свойства

Определитель матрицы A размера 3×3 можно записать (здесь подразумевается стандартный, а следовательно ортонормированный базис) как
[math]\displaystyle{ \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \\ \end{vmatrix} =\sum_{i,j,k=1}^3 \varepsilon_{ijk} a_i b_j c_k. }[/math]
Векторное произведение двух пространственных векторов записывается через этот символ:
[math]\displaystyle{ \vec{a} \times \vec{b} =\sum_{i,j,k=1}^3 \varepsilon_{ijk} \vec{e}^i a^j b^k = \vec{c} }[/math], где [math]\displaystyle{ c_i = \sum_{j,k=1}^3 \varepsilon_{ijk} a^j b^k }[/math] — его компоненты, а [math]\displaystyle{ \vec{e}^i }[/math] — векторы базиса.
Смешанное произведение векторов тоже:
[math]\displaystyle{ [\vec{a}\vec{b}\vec{c}] = \sum_{i,j,k=1}^3 \varepsilon_{ijk} a^i b^j c^k. }[/math]
В следующей формуле [math]\displaystyle{ \delta }[/math] обозначает символ Кронекера:
[math]\displaystyle{ \varepsilon_{ijk}\varepsilon^{lmn} = \begin{vmatrix} \delta_i^l & \delta_i^m& \delta_i^n\\ \delta_j^l & \delta_j^m& \delta_j^n\\ \delta_k^l & \delta_k^m& \delta_k^n\\ \end{vmatrix}. }[/math]
Суммирование по общему индексу даёт
[math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^3 \varepsilon_{ijk} \varepsilon_{imn} = \delta_{jm}\delta_{kn} - \delta_{jn}\delta_{km}. }[/math]
В случае двух общих индексов [math]\displaystyle{ i, j }[/math] тензор сворачивается следующим образом:
[math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 \varepsilon_{ijk} \varepsilon_{ijn} = 2\delta_{kn}. }[/math]

(Везде здесь в случае ортонормированного базиса все индексы можно просто переписать как нижние.)

Обобщение на случай n измерений

Символ Леви-Чивиты может быть легко обобщён на любое количество измерений больше единицы, если пользоваться определением через чётность перестановок индексов:

[math]\displaystyle{ \varepsilon_{ijkl\dots} = \left\{\begin{matrix} \! \\ \! \\ \! \end{matrix}\right. }[/math]	[math]\displaystyle{ +\sqrt{g}, }[/math] если [math]\displaystyle{ (i, j, k, l, \dots) }[/math] есть чётная перестановка набора [math]\displaystyle{ (1, 2, 3, 4, \dots); }[/math]
	[math]\displaystyle{ -\sqrt{g}, }[/math] если [math]\displaystyle{ (i, j, k, l, \dots) }[/math] есть нечётная перестановка набора [math]\displaystyle{ (1, 2, 3, 4, \dots); }[/math]
	[math]\displaystyle{ 0 }[/math], если хотя бы два индекса совпадают.

То есть он равен знаку (signum) перестановки, умноженному на корень из определителя метрики [math]\displaystyle{ \sqrt{g} = \sqrt{\det{\{g_{ij}\}}} }[/math] в случае, когда индексы принимают значения, реализующие перестановку набора [math]\displaystyle{ (1, 2, 3, \dots, n) }[/math], а в остальных случаях ноль. (Как видим, количество индексов равно размерности пространства [math]\displaystyle{ n }[/math].)

В псевдоевклидовых пространствах в случае, если сигнатура метрики такова, что [math]\displaystyle{ g \lt 0 }[/math], вместо него как правило берут [math]\displaystyle{ -g }[/math], чтобы [math]\displaystyle{ \sqrt{g} }[/math] получался вещественным.
Во всех размерностях, где символ Леви-Чивиты определён, он представляет тензор (имеется в виду главным образом то, что надо проследить за тем, чтобы количество индексов символа совпадало с размерностью пространства). Кроме того, как видно из написанного выше, какие-то трудности с обычным определением символа Леви-Чивиты могут быть в пространствах, где не определён метрический тензор, или, скажем, [math]\displaystyle{ \det{\{g_{ij}\}} = 0 }[/math] или [math]\displaystyle{ \det{\{g^{ij}\}} = 0 }[/math].

Можно показать, что для [math]\displaystyle{ n }[/math] измерений выполняются свойства, аналогичные трёхмерным:

[math]\displaystyle{ \sum_{i,j,k,\dots=1}^n \varepsilon_{ijk\dots} \varepsilon^{ijk\dots} = n! }[/math]

— что связано с тем, что существует [math]\displaystyle{ n! }[/math] перестановок набора [math]\displaystyle{ (1, 2, 3, \dots, n) }[/math], а следовательно, столько же ненулевых компонент [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] с [math]\displaystyle{ n }[/math] индексами.

[math]\displaystyle{ \varepsilon_{ijk\dots}\varepsilon^{pqr\dots} = \begin{vmatrix} \delta_i^p & \delta_i^q & \delta_i^r & \dots \\ \delta_j^p & \delta_j^q & \delta_j^r & \dots \\ \delta_k^p & \delta_k^q & \delta_k^r & \dots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \\ \end{vmatrix}. }[/math]

После раскрытия определителя появляется множитель [math]\displaystyle{ n! }[/math] и производятся упрощения в соответствующих символах Кронекера.

Псевдоскалярное произведение двух векторов в двумерном пространстве:
[math]\displaystyle{ \vec a \vee \vec b = \sum_{i,j=1}^2 \varepsilon_{ij} a^i b^j. }[/math]

Определитель матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math] размера [math]\displaystyle{ n \times n }[/math] можно удобно записать с использованием [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерного символа Леви-Чивиты
[math]\displaystyle{ \det{A} = \sum_{i,j,k,\ldots=1}^n \varepsilon_{ijk\ldots} A_{1i} A_{2j} A_{3k} \cdots = \sum_{i_1,i_2,i_3,\ldots,i_n=1}^n \varepsilon_{i_1 i_2 i_3 \cdots i_n} A_{1 i_1} A_{2 i_2} A_{3 i_3} \cdots A_{n i_n}, }[/math]

что является, по сути, просто переписанным с помощью этого символа определением определителя (одним из самых распространённых). Здесь базис подразумевается стандартным, и ненулевые компоненты [math]\displaystyle{ \varepsilon_{ijk\ldots} }[/math] принимают тут значения [math]\displaystyle{ \pm 1 }[/math].

Прямое [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерное обобщение векторного произведения [math]\displaystyle{ n - 1 }[/math] штук ([math]\displaystyle{ n }[/math]-мерных) векторов:
[math]\displaystyle{ \vec{p} = {\vec a \times \vec b \times \vec c \times \ldots} = \sum_{i,j,k,m,\ldots=1}^n \varepsilon_{ijkm\ldots} \vec f^i a^j b^k c^m \ldots, }[/math]

где [math]\displaystyle{ p_i = \sum_{j,k,m,\ldots=1}^n \varepsilon_{ijkm\ldots} a^j b^k c^m \ldots }[/math] — его компоненты, а [math]\displaystyle{ \vec{f}^i }[/math] — базисные векторы. (Здесь для краткости записано выражение для ковариантных компонент и разложение в дуальном базисе.)

Прямое [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерное обобщение смешанного произведения [math]\displaystyle{ n }[/math] штук ([math]\displaystyle{ n }[/math]-мерных) векторов:
[math]\displaystyle{ [\vec{a}\vec{b}\vec{c}\ldots] = \sum_{i,j,k,\ldots=1}^n \varepsilon_{ijk\ldots} a^i b^j c^k \ldots. }[/math]

Безындексная запись (для n измерений)

В безындексной тензорной записи символ Леви-Чивиты заменяется оператором дуальности, называемым звёздочка Ходжа, или просто оператор звездочка:

[math]\displaystyle{ (*\eta)_{i_1,i_2,\ldots,i_{n-k}}=\frac{1}{k!} \eta^{j_1,\ldots,j_k}\varepsilon_{j_1,\ldots,j_k,i_1,\ldots,i_{n-k}} }[/math]

(для произвольного тензора [math]\displaystyle{ \eta, }[/math] учитывая эйнштейновское правило суммирования).

См. также

Ссылки

Hermann R. (ed.), Ricci and Levi-Civita’s tensor analysis papers, (1975) Math Sci Press, Brookline (определение символа — см. с. 31).
Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler, Gravitation, (1970) W. H. Freeman, New York; ISBN 0-7167-0344-0. (См. параграф 3.5 для обзора применения тензоров в общей теории относительности).
Русский перевод: Ч. Мизнер, К. Торн, Дж. Уилер, Гравитация. — М.: Мир, 1977 (См. по указателю — Леви-Чивиты тензор).
Димитриенко Ю. И., Тензорное исчисление, М.: Высшая школа, 2001. — 575 с.