Абелев интеграл

А́белев интеграл — интеграл от алгебраической функции вида

[math]\displaystyle{ \int\limits_{z_0}^{z_1} R(z, w) \,dz, }[/math]

где [math]\displaystyle{ R(z, w) }[/math] — любая рациональная функция от переменных [math]\displaystyle{ z }[/math] и [math]\displaystyle{ w, }[/math] связанных алгебраическим уравнением

[math]\displaystyle{ F(z, w) = a_0(z) w^n + a_1(z) w^{n-1} + \ldots + a_n(z) = 0 }[/math]

с целыми рациональными по [math]\displaystyle{ z }[/math] коэффициентами [math]\displaystyle{ a_j(z),\ j = 0, 1, \dots, n. }[/math] Этому уравнению соответствует компактная риманова поверхность [math]\displaystyle{ F, }[/math] [math]\displaystyle{ n }[/math]-листно накрывающая сферу Римана, на которой [math]\displaystyle{ z, w, }[/math] а следовательно и [math]\displaystyle{ R(z, w), }[/math] рассматриваемые как функции точки поверхности [math]\displaystyle{ F, }[/math] однозначны.

Литература

• Спрингер Дж. Глава 10 // Введение в теорию римановых поверхностей / Перевод с английского. — М., 1960.
• Чеботарёв Н. Г. Глава 8, 9 // Теория алгебраических функций. — М.: Л., 1948.
• Bliss G. A. Algebraic functions. — N. Y., 1966.

См. также

• Алгебраическая функция
• Интегральное преобразование Абеля