Сопряжённый корень

Если задан некоторый неприводимый многочлен [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] над кольцом [math]\displaystyle{ K }[/math] и выбран некоторый его корень [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] в расширении [math]\displaystyle{ K[\alpha] }[/math], то сопряженным корнем для данного корня [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] многочлена [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] называется любой корень многочлена [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] (иногда, в зависимости от контекста, под сопряженным корнем понимается любой другой корень данного многочлена). Число сопряженных корней неприводимого многочлена равно степени [math]\displaystyle{ \operatorname{deg}f }[/math] многочлена [math]\displaystyle{ f }[/math]. Также говорят, что элементы [math]\displaystyle{ \alpha,\beta }[/math] являются сопряженными, если они являются корнями некоторого неприводимого многочлена [math]\displaystyle{ f }[/math]

Свойства

Теорема Виета задает [math]\displaystyle{ \operatorname{deg}f }[/math] алгебраических соотношений между сопряженными корнями многочлена.
Если [math]\displaystyle{ K }[/math] — поле, то Группа Галуа [math]\displaystyle{ Gal(K(\alpha),K) }[/math] изоморфна некоторой подгруппе группы перестановок, действующей на множестве сопряженных корней многочлена. Отображение корня в ему сопряженный задает автоморфизм расширения основного поля.

Примеры

Если [math]\displaystyle{ f(x)=ax^2+bx+c }[/math] — многочлен 2-й степени, то сопряженные корни имеют вид [math]\displaystyle{ r\pm\sqrt{s} }[/math].
Корни из единицы [math]\displaystyle{ \varepsilon ^j }[/math] n-й степени являются сопряженными корнями многочлена [math]\displaystyle{ x^n-1=0 }[/math] над [math]\displaystyle{ \mathbb{R}(\varepsilon) }[/math]

См. также